【正文】 求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過(guò)程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無(wú)理方程化有理方程要求驗(yàn)根），它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。我們?cè)趹?yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家，《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”。數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過(guò)程。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說(shuō)的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問(wèn)題等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化?？梢哉f(shuō)，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問(wèn)題來(lái)處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問(wèn)題，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題，以便準(zhǔn)確把握問(wèn)題的求解過(guò)程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過(guò)程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，則f()等于_____。 A. B. － C. D. －(x)＝3x－2，則f[f(x)]等于______。 A. B. 9x－8 C. x D. 3. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，則mp＋nq的最大值是______。 A. B. C. D. 4. 如果復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值為_(kāi)_____。 A. 1 B. C. 2 D. 5. 設(shè)橢圓＋＝1 （ab0）的半焦距為c，直線l過(guò)(0,a)和(b,0)，已知原點(diǎn)到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_(kāi)____。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，則四棱錐SBCED的體積為_(kāi)____。 A. B. 10 C. D. 【簡(jiǎn)解】1小題：由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f()＝f()＝－f()，選B；2小題：設(shè)f(x)＝y(tǒng)，由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系，選C；3小題：由mp＋nq≤＋容易求解，選A；4小題：由復(fù)數(shù)模幾何意義利用數(shù)形結(jié)合法求解，選A；5小題：ab＝，變形為12e－31e＋7＝0，再解出e，選B；6小題：由S＝S和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容易求，選A。Ⅱ、示范性題組：例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值?！痉治觥坑梢阎獂＋y＋z＝1而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式x＋y＋z，或者運(yùn)用均值不等式后含xyz的形式。所以，關(guān)鍵是將所求式進(jìn)行合理的變形，即等價(jià)轉(zhuǎn)化?！窘狻?－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz)＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9【注】對(duì)所求式進(jìn)行等價(jià)變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求＋＋的最小值，則不難由平均值不等式而進(jìn)行解決。此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變中保持值不變。例2. 設(shè)x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范圍。【分析】 設(shè)k＝x＋y，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k范圍的問(wèn)題。其中要注意隱含條件，即x的范圍?！窘狻坑?x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。設(shè)k＝x＋y，則y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，即k＝－x＋3x，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4?！玖斫狻?數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。x＋y的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x＋y＝k，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4?！驹俳狻?三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，設(shè)，則x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。【注】本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了其它問(wèn)題，屬于問(wèn)題轉(zhuǎn)換題型。例3. 求值：ctg10176。－4cos10176。 【分析】分析所求值的式子，估計(jì)兩條途徑：一是將函數(shù)名化為相同，二是將非特殊角化為特殊角?！窘庖弧縞tg10176。－4cos10176。＝－4cos10176。＝＝＝＝＝＝＝（基本過(guò)程：切化弦→通分→化同名→拆項(xiàng)→差化積→化同名→差化積）【解二】ctg10176。－4cos10176。＝－4cos10176。＝＝＝＝＝＝＝＝（基本過(guò)程：切化弦→通分→化同名→特值代入→積化和→差化積）【解三】ctg10176。－4cos10176。＝－4cos10176。＝＝＝＝＝＝＝（基本過(guò)程：切化弦→通分→化同名→拆角80176?！筒罱枪剑咀ⅰ繜o(wú)條件三角求值問(wèn)題，是高考中常見(jiàn)題型，其變換過(guò)程是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。此種題型屬于三角變換型。一般對(duì)，對(duì)于三角恒等變換，需要靈活運(yùn)用的是同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍半角公式、和積互化公式以及萬(wàn)能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、將次與升次、和積互化、異名化同名、異角化同角、化特殊角等等。對(duì)此，我們要掌握變換的通法，活用2公式，攻克三角恒等變形的每一道難關(guān)。例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0, )，若x、x∈(0, )且x≠x，求證：[f(x)＋f(x)]f() （94年全國(guó)高考）【分析】從問(wèn)題著手進(jìn)行思考，運(yùn)用分析法，一步步探求問(wèn)題成立的充分條件。【證明】[f(x)＋f(x)]f() [tgx＋tgx]tg(＋) 1＋cos(x＋x)2cosxcosx 1＋cosxcosx＋sinxsinx2cosxcosx cosxcosx＋sinxsinx1 cos(x－x)1 由已知顯然cos(x－x)1成立，所以[f(x)＋f(x)]f() SA M D N C B 【注】 本題在用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，每一步實(shí)施的都是等價(jià)轉(zhuǎn)化。此種題型屬于分析證明型。例5. 如圖，在三棱錐SABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成角等于∠NSC。求證：SC垂直于截面MAB。（83年全國(guó)高考）【分析】 由三垂線定理容易證明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識(shí)證明SC⊥DM?！咀C明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜線SC在底面AB的射影，∴ AB⊥SC?！?AB⊥SC、AB⊥CD∴ AB⊥平面SDNC∴ ∠MDC就是截面MAB與底面所成的二面角由已知得∠MDC＝∠NSC又∵ ∠DCM＝∠SCN∴ △DCM≌△SCM∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠即 SC⊥DM所以SC⊥截面MAB。【注】立體幾何中有些問(wèn)題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來(lái)解決，即考慮在一個(gè)平面上的證明時(shí)運(yùn)用平面幾何知識(shí)。Ⅲ、鞏固性題組：1. 正方形ABCD與正方形ABEF成90176。的二面角，則AC與BF所成的角為_(kāi)____。 A. 45176。 B. 60176。 C. 30176。 D. 90176。2. 函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0ab時(shí)有f(a)f(b)，則下列各式中成立的是_____。 A. ab≤1 B. ab1 C. ab1 D. a1且b13. [－] (n∈N)的值為_(kāi)_____。 A. B. C. 0 D. 14. (a＋b＋c)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)是_____。 A. 11 B. 66 C. 132 D. 35. 已知長(zhǎng)方體ABCDA’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝，則頂點(diǎn)A到截面A’BD的距離是_______。6. 已知點(diǎn)M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny)，則|MN|的最大值為_(kāi)________。7. 函數(shù)y＝＋的值域是____________。8. 不等式log（x＋x＋3）log(x＋2)的解是____________。9．設(shè)x0，y0，求證：(x＋y)(x＋y) (86年上海高考)10. 當(dāng)x∈[0, ]時(shí)，求使cosx－mcosx＋2m－20恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。11. 設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若三邊a、b、c順次成等差數(shù)列，求復(fù)數(shù)z＝[cos(π＋)＋ｉsin(π＋)][sin(－)＋ｉcos(－)]的輻角主值argz的最大值。12. 已知拋物線C：y＝(t＋t－1)x－2(a＋t)x＋(t＋3at＋b)對(duì)任何實(shí)數(shù)t都與x軸交于P(1,0)點(diǎn)，又設(shè)拋物線C與x軸的另一交點(diǎn)為Q(m,0)，求m的取值范圍。