高中數(shù)學(xué)常用思想方法-資料下載頁
2025-08-05 18:06本頁面
【正文】 以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x＋y＝k，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4?！驹俳狻?三角換元法，對已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，設(shè)，則x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。【注】本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識點(diǎn)，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。五、特殊與一般思想用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而作出正確判斷的方法叫特例法。常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等。當(dāng)已知條件中含有某些不確定的量，但題目暗示答案可能是一個(gè)定值時(shí)，可以將變量取一些特殊數(shù)值、特殊位置、或者一種特殊情況來求出這個(gè)定值，這樣，簡化了推理、論證的過程。例 已知(1－2x)＝a＋ax＋ax＋…＋ax，那么a＋a＋…＋a＝ ?！窘狻苛顇＝1，則有（－1）＝a＋a＋a＋…＋a＝－1；令x＝0,則有a＝1。所以a＋a＋…＋a＝－1－1=－2。六、有限與無限思想（1）把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之路 （2）積累的解決無限問題的經(jīng)驗(yàn)，將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決是解決的方向 （3）立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用例 設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項(xiàng)的和為，則 ．【解】設(shè)首項(xiàng)為，則，.七、必然與或然的思想（1）隨機(jī)現(xiàn)象兩個(gè)最基本的特征，一是結(jié)果的隨機(jī)性，二是頻率的穩(wěn)定性 （2）偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、隨機(jī)事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是考查的重點(diǎn)例 設(shè)有關(guān)于的一元二次方程．（Ⅰ）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．（Ⅱ）若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．【解】設(shè)事件為“方程有實(shí)根”．當(dāng)，時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件為．（Ⅰ）基本事件共12個(gè)：．其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值．事件中包含9個(gè)基本事件，事件發(fā)生的概率為．（Ⅱ）試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋畼?gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋运蟮母怕蕿椋綀D：
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