【正文】 、y＝2cosα，再求d＝的最大值，選C。Ⅱ、示范性題組：例1. 實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值?！痉治觥坑蒩＋b＋c＝1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求?！窘狻坑蒩＋b＋c＝1，設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥所以a＋b＋c的最小值是?！咀ⅰ坑伞熬祿Q元法”引入了三個參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進行了簡化，是本題此種解法的一個技巧。本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強，多次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力。例2. 橢圓＋＝1上有兩點P、Q，O為原點。連OP、OQ，若kk＝－ ， ①．求證：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求線段PQ中點M的軌跡方程。【分析】 由“換元法”引入新的參數(shù)，即設(shè)（橢圓參數(shù)方程），參數(shù)θ、θ為P、Q兩點，先計算kk得出一個結(jié)論，再計算|OP|＋|OQ|，并運用“參數(shù)法”求中點M的坐標(biāo)，消參而得?！窘狻坑桑?，設(shè)，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),則kk＝＝－，整理得到：cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0?！? |OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20。由中點坐標(biāo)公式得到線段PQ的中點M的坐標(biāo)為，所以有()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2,即所求線段PQ的中點M的軌跡方程為＋＝1。【注】由橢圓方程，聯(lián)想到a＋b＝1,于是進行“三角換元”，通過換元引入新的參數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角問題進行研究。本題還要求能夠熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點坐標(biāo)公式求出M點的坐標(biāo)后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ），這是求點M軌跡方程“消參法”的關(guān)鍵一步。一般地，求動點的軌跡方程運用“參數(shù)法”時，我們可以將點的x、y坐標(biāo)分別表示成為一個或幾個參數(shù)的函數(shù)，再運用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程。本題的第一問，另一種思路是設(shè)直線斜率k，解出P、Q兩點坐標(biāo)再求：設(shè)直線OP的斜率k，則OQ的斜率為－，由橢圓與直線OP、OQ相交于PQ兩點有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。在此解法中，利用了直線上兩點之間的距離公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的長。 S E D C O F A B—ABCD的側(cè)面與底面的夾角為β，相鄰兩側(cè)面的夾角為α,求證：cosα=cosβ?！痉治觥恳C明cosα=cosβ，考慮求出α、β的余弦，則在α和β所在的三角形中利用有關(guān)定理求解?！窘狻窟BAC、BD交于O，連SO；取BC中點F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO＝β，∠DEB＝α。 設(shè)BC＝a (為參數(shù))， 則SF＝＝, SC＝＝＝又 ∵BE＝＝＝在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。所以cosα＝－cosβ?！咀ⅰ?設(shè)參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問題。Ⅲ、鞏固性題組：1. 已知復(fù)數(shù)z滿足|z|≤1，則復(fù)數(shù)z＋2ｉ在復(fù)平面上表示的點的軌跡是________________。2. 函數(shù)y＝x＋2＋的值域是________________。3. 拋物線y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ與x軸兩個交點距離的最大值為_____A. 5 B. 10 C. 2 D. 34. 過點M(0,1)作直線L，使它與兩已知直線L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的線段被點P平分，求直線L方程。5. 求半徑為R的球的內(nèi)接圓錐的最大體積。6. f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實數(shù)a的取值范圍。7. 若關(guān)于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模為1的虛根，求實數(shù)a的值及方程的根。8. 給定的拋物線y＝2px (p0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點M，使得對于拋物線的任意一條過點M的弦PQ，有＋為定值。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國數(shù)學(xué)家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。 2. 已知a0,－1b0，那么a、ab、ab之間的大小關(guān)系是_____。A. aab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b為異面直線，則_____。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種【簡解】1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個選擇項逐一成立，導(dǎo)出其中三個與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a＝－b＝－，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：C－C4－3－6,選D。 S C A O BⅡ、示范性題組：例1. 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點。求證：AC與平面SOB不垂直?！痉治觥拷Y(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”。【證明】 假設(shè)AC⊥平面SOB，∵ 直線SO在平面SOB內(nèi)， ∴ AC⊥SO，∵ SO⊥底面圓O， ∴ SO⊥AB，∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立。即AC與平面SOB不垂直?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯栴}常用反證法。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍?！痉治觥?三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的范圍，再所得范圍的補集就是正面情況的答案?！窘狻?設(shè)三個方程均無實根，則有：,解得,即－a－1。所以當(dāng)a≥－1或a≤－時，三個方程至少有一個方程有實根?！咀ⅰ俊爸辽佟?、“至多”問題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了“判別式法”、“補集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（△≥0）a的取值范圍，再將三個范圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對不等式解集的交、并、補概念和運算理解透徹。例3. 給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝ (其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； ②.這個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)?！咀C明】 ① 設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個不同的點，則x≠x,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有y＝y(tǒng)，即＝，整理得a(x－x)＝x－x∵x≠x ∴ a＝1， 這與已知“a≠1”矛盾， 因此假設(shè)不對，即直線MM不平行于x軸。② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y(tǒng)－1,所以x＝，即原函數(shù)y＝的反函數(shù)為y＝，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個圖像關(guān)于直線y＝x對稱可以得到，函數(shù)y＝的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像。【注】對于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與已知a≠1互相矛盾。第②問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運用熟練。Ⅲ、鞏固性題組：1. 已知f(x)＝，求證：當(dāng)x≠x時，f(x)≠f(x)。2. 已知非零實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：、不可能成等差數(shù)列。3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于 。4. 求證：拋物線y＝－1上不存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的兩點。5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個根的絕對值均小于1。 A F DB M NE C6. 兩個互相垂直的正方形如圖所示，M、N在相應(yīng)對角線上，且有EM＝CN，求證：MN不可能垂直CF。第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數(shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾