高中數(shù)學不等式解題漫談-資料下載頁
2025-06-07 23:55本頁面
【正文】 a2+…+a11的最大值和最小值。【巧解】基本不等式法、綜合法(a1+a11)2=a12+2a1a11+a112≤2(a12+a112)≤200,∴|a1+a11|≤10，又aa…、a11成等差數(shù)列,∴S=a1+a2+…+a11=(a1+a11),∴ Smax=55，Smin=55.[答案] Smax=55，Smin=55.例30若0≤x,y≤1，求證：+++≥2 等號當且僅當x=y=時成立。Gy=()xFy=()xEy=()xPy=()xDy=()xCy=()xBy=()xAy=()x1yy=()xyy=()x1xy=()xxy=()xH【巧解】構(gòu)造法如圖，設正方形ABCD的邊長為1，BH=x,AE=y,則HC=1x,BE=1y,于是AP=,BP=,DP=, PC=,由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=。看,此時結(jié)論是不是顯然的了？[答案] 見證明過程例31 設m是方程ax2+bx+c=0的實根，且abc0,求證：|m|1.【巧解】綜合法設方程的另一根為n,則由韋達定理得m+n= 0,mn=0,∴ m,n同為負數(shù)，∴ 1|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|1,|n|1.∴結(jié)論成立。[答案] 見證明過程例32 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a0),設方程f(x)=x的兩實根為x1和x2，如果x12x24,且函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0,求證：x01.a(,)b【巧解】 數(shù)形結(jié)合法設g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1,由題意得,即,目標是證明1,即（不含邊界），而表示區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與坐標原點連線的斜率，易見2,故命題成立。[答案] 見證明過程例33 已知≤ak≤1(k∈N+),求證：a1a2…an+(1a1)(1a2)…(1an)≥.【巧解】增量法、換元法設令ak=+bk(0≤bk≤)，則原式左邊=(+b1)(+b2)…(+bn)+( b1)( b2)…( bn)=[()n+M]+[()n+N]=()n1+M+N≥()n1=右邊，∴原式成立。[答案] 見證明過程（注：多項式M和N正負抵消部分項后，所余部分和必為非負數(shù)。）例34 記橢圓（ab0），A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于P(x0,0),證明： x0.【巧解】數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法記Q(x,y)是橢圓上的任一點，則 |PQ|2=(xx0)2+y2=(xx0)2+b2(1),x∈[a,a],得二次函數(shù)，f(x)= (xx0)2+b2x02且由|PA|=|PB|,知 f(xA)=f(xB),即f(x)在[a,a]上不單調(diào)，由二次函數(shù)最小值的唯一性知 –ax0a,變形即得所求。[答案] 見證明過程例35 已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx++c=0,f(x)在[1,1]上的最大值是2，最小值是。證明：a≠0且||2. 【巧解】反證法假設a=0或||≥2。（1）若a=0,則由a+c=0,得c=0,∴f(x)=≠0，∴f(x)在[1,1]是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。f(x)min=|b|,于是|b|=2,|b|= ,由此得矛盾；（2）若||≥2,則||≥1且a≠0，因此區(qū)間[1,1]在拋物線f(x)=ax2+bxa的對稱軸x=的左側(cè)或右側(cè)，∴函數(shù)f(x)在[1,1]上是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。f(x)=|b|,由（1）知這是不可能的。綜合（1）（2）知，命題成立。[答案] 見證明過程例36 是否存在常數(shù)C，使得不等式+≤C≤+，對任意正數(shù)x,y恒成立？試證明你的結(jié)論?！厩山狻糠治龇顇=y=1，得≤C≤，所以C=。下面給出證明：(1) 先證明：+≤，因為x0,y0,要證： + ≤，只要證 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即證：x2+yy≥2xy,這顯然成立，∴ +≤；（2）再證：+≥，只需證：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),即證：x2+y2≥2xy,這顯然成立，∴+≥。綜合（1）、（2）得，存在常數(shù)C=，使對于任何正數(shù)x,y都有+≤≤+成立。[答案] 存在常數(shù)C=,證明略.更多精品在大家！ 大家網(wǎng)，大家的
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