高中數(shù)學(xué)不等式解題漫談-文庫吧資料
2025-06-13 23:55本頁面
【正文】 [1,]，∴ sin(cosθ)sin( sinθ)= cos(sinθ).(單調(diào)性)[答案] 見證明過程例20 已知f(x)=，若ab0,c=2,求證：f(a)+f(c)1.【巧解】基本不等式法、放縮法可以證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。 顯然Q(a,b)是直線L：x+y=1上的點，(a+1)2+(b+1)2表示點Q與P(1,1)的距離的平方。 =1+b2+b4+b6+…,∴ +=2+( a2+b2)+( a4+b4)+( a6+b6)+…≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+…=.QTP(1,1)oyx[答案] 見證明過程例18 已知a+b=1(a,b∈R)，求證：(a+1)2+(b+1)2≥?！厩山狻勘容^法、基本不等式法∵ 左邊右邊=2+c3=++c3≥33=0，∴原式成立。 [答案] 見證明過程例15 已知abc,求證：++0.【巧解】放縮法∵0abac,∴由倒數(shù)法則（難點巧學(xué)）得,而0,∴ +, ∴原式得證。設(shè)想右端2是某數(shù)列{an}的前n項和，即令Sn=2,則n≥2時，an=SnSn1=(2)(2)==, 這樣問題就轉(zhuǎn)化為,而這顯然?！厩山狻繑?shù)形結(jié)合法令g(x)= (xa)(xb),則 f(x)=g(x)2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的兩根m,n可看成直線y=2與y=g(x)交點的橫坐標(biāo)，畫出f(x),g(x)的圖象，由圖象容易得到mabn.[答案] mabn.例13 若0abcd,且a2+d2=b2+c2,求證：a+db+c.【巧解】綜合法由0abcd,得dacb,∴(da)2(bc)2,又(a+d)2+(ad)2=(b+c)2+(bc)2,兩式相減，得(a+d)2(b+c)2, ∴ a+db+c.[答案] 見證明過程注：本題的幾何意義是：在RtΔABC與RtΔABD中，其中AB為公共的斜邊?！厩山狻康葍r轉(zhuǎn)化法要使原不等式的解集為R，只需不等式中不含x即可，故有 xx+2c1 ∴ c。由圖形，易知，x≥1。[答案] {x|x4或1x1或x4}注：可以證明不等式mn與不等式[f(x)mg(x)][f(x)ng(x)]0等價。故選B。例7 條件甲：x2+y2≤4,條件乙：x2+y2≤2x,那么甲是乙的【 】A、 充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既非充分也非必要條件【巧解】數(shù)形結(jié)合法畫示意圖如圖。例6 如果數(shù)列｛an｝是各項都大于0的等差數(shù)列，且公差d≠0，則【 】.（A）a1+a8a4+a5 （B）a1+a8=a4+a5 （C）a1+a8a4+a5 （D）a1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取an=n,則a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,∴a1 +a8=a4+a5,故選B。當(dāng)m1時,ab，選B。例5已知實數(shù) a，b滿足等式()a=()b，下列五個關(guān)系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a=【 】.（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個【巧解】數(shù)形結(jié)合法在同一坐標(biāo)系內(nèi)同時畫出兩個函數(shù)圖象：y1=()x,y2=()x,(如圖)作直線y=m(m0圖中平行于x軸的三條虛線),由圖象可以看到：當(dāng)0m1時,0ba。例4 0a1，下列不等式一定成立的是【 】.（A）|log(1+a)(1a) |+| log(1a)(1+a)|2 （B）| log(1+a)(1a)|| log(1a)(1+a) |（C）| log(1+a)(1a)+log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)|+|log(1a)(1+a)|（D）| log(1+a)(1a)log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)||log(1a)(1+a)|【巧解】換元法、綜合法由于四個選項中只涉及兩個式子log(1+a)(1a) 和log(1a)(1+a)，為了簡化運算看清問題的本質(zhì)，不妨設(shè)x= log(1+a)(1a),y= log(1a)(1+a),由0a1知，x0,y0且x≠y,于是四個選項便為：A |x|+|y|2 B |x||y| C |x+y| |x|+|y| D |xy| |x||y|這樣選A就是極自然的事了。例3 已
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