高中數(shù)學-基本不等式課件-文庫吧資料
2025-07-29 17:21本頁面
【正文】 ＝ 9. 法二 ??????1 ＋1a ??????1 ＋1b＝????????1 ＋a ＋ ba ????????1 ＋a ＋ bb ＝??????2 ＋ba ??????2 ＋ab＝ 5 ＋ 2??????ba＋ab≥ 9. 題型二 利用基本不等式求最值 【例 2 】 已知 x ＞ 0 ， y ＞ 0 ，且1x ＋9y ＝ 1 ，求 x ＋ y 的最小值． [思維啟迪 ] 解答本題可靈活使用 “ 1”的代換或?qū)l件進行必要的變形，再用基本不等式求得和的最小值． 解 法一 ∵ x ＞ 0 ， y ＞ 0 ，1x＋9y＝ 1 ， ∴ x ＋ y ＝??????1x＋9y( x ＋ y ) ＝y(tǒng)x＋9 xy＋ 10 ≥ 6 ＋ 10 ＝ 16. 當且僅當yx＝9 xy，又1x＋9y＝ 1 ， 即 x ＝ 4 ， y ＝ 12 時，上式取等號． 故當 x ＝ 4 ， y ＝ 12 時， ( x ＋ y )m in＝ 16. 法二 由1x＋9y＝ 1 ，得 ( x － 1) ( y － 9) ＝ 9( 定值 ) ， 可知 x ＞ 1 ， y ＞ 9 ，而 x ＋ y ＝ ( x － 1) ＋ ( y － 9) ＋10 ≥ 2 ? x － 1 ?? y － 9 ? ＋ 10 ＝ 16. 所以當且僅當 x － 1 ＝ y － 9 ＝ 3 ， 即 x ＝ 4 ， y ＝ 12 時，上式取等號， 故當 x ＝ 4 ， y ＝ 12 時， ( x ＋ y )m in＝ 16. 規(guī)律方法 在應用基本不等式求最值時 ， 分以下三步進行： (1)首先看式子能否出現(xiàn)和 (或積 )的定值 ， 若不具備 ， 需對式子變形 ， 湊出需要的定值； (2)其次 ， 看所用的兩項是否同正 ， 若不滿足 ， 通過分類解決 ，同負時 ， 可提取 (－ 1)變?yōu)橥? (3)利用已知條件對取等號的情況進行驗證 ． 若滿足 ， 則可取最值 ， 若不滿足 ， 則可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決 ． 【 變式 2】 已知 x0， y0，且 x＋ 2y＋ xy＝ 30，求 xy的最大值 . 解 由 x ＋ 2 y ＋ xy ＝ 30 ，得 y ＝30 － x2 ＋ x ( 0 x 30) ，
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