【正文】 2k(k+1)+1+1k+(k+1)+1=2k+1,∴當(dāng)n=k+1綜合(1)、(2)得當(dāng)n∈N*時，都有1+12+13+L+1n＜另從k到k+1Q2(k+1)12k(k+1)=k2k(k+1)+(k+1)=(kk+1)20,\2k(k+1)+12(k+1),Qk+10,\2+1k+12k++1+2+1+k+1=1k+1, 又如:Q2k+12=\2k+2++1對任意k∈N*，都有1kk+kk+1證法111因此1+++L+2+2(1)+2(2)+L+2(nn1)= 設(shè)f(n)=2n(1+=22=2(kk1),13那么對任意k∈N* 都有+1+L+1n),f(k+1)f(k)=2(k+1k)==1k+11k+1[2(k+1)2k(k+1)1][(k+1)2k(k+1)+k]=1k+1(k+1k)2k+10∴f(k+1)＞f(k)因此，對任意n∈N* 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，111++L+2n.∴1+23例2求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a 命題意圖本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力 知識依托該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再錯解分析 本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應(yīng)進行換元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜p2)，這樣也得a≥sinθ+cosθ其原因是(1)縮小了x、y的范圍(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1技巧與方法 除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則amin=f(x)max 若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①②當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，②中有等號成立比較①、②得a的最小值滿足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a設(shè)u=x+y(x+y)2x+y+2xy ===x+yx+yx+y∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(當(dāng)x=y時“=”成立)，∴2xy2xy≤1，的最大值是1 x+yx+y從而可知，u的最大值為+1=2，又由已知，得a≥u，∴a的最小值為∵y＞0，∴原不等式可化為x+1≤ayx+1，y設(shè)xp=tanθ，θ∈(0，)y2∴tanθ+1≤a 即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+p4)，③ p4)的最大值為1(此時θ=p4)由③式可知a例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤1或ab≥8 4∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤(均值代換法)1，從而得證 4設(shè)a=11+t1，b=+t222∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜11，|t2|＜ 2211a2+1b2+1\(a+)(b+)=180。R),對f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍xnn1例已知a＞0，n為正整數(shù)，（Ⅰ）設(shè)y=(xa)，證明y162。例求證：n∈N*,n≥3時，2n 2n+1 例gx2+(b1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a(x)=(1)Aax若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得該不等式恒成立。x2例1：x0時,求證；x－ln(1+x)＜0把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目的。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的。b＜n+1nnn+2n+119．設(shè)數(shù)列{an}的首項a1∈(0，1)，an＝3－an1n＝2，3，4，….2（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝a3－2an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)． 20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝3bn＋4n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，… 2bn＋321．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為f162。2)②ane2(n179。n2①證明: an【專題訓(xùn)練】179。247。1a+(n179。1+232。10k=1Sk+Tkn前k項積,求證例6(1)證明: ln(1+x)x(x0)(2)數(shù)列{an}=1,且an=230。2i=11+ai,Sk為數(shù)列{}的前k項和, Tk為數(shù)列{}的1+bnn(2)數(shù)列{bn}滿足: b1=1,bn+1=f(bn)(n206。1對任意的n206。N)4f(x)=x2+x.(1)數(shù)列{an}滿足: a10,an+1=f162。N)(3)求證: P2+P3+?+Pn6n5(n179。(2)求證: 3Pn+1+Pn例5 已知函數(shù)=1(n179。(165。163。四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【例6】 等比數(shù)列{an}的首項為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f(n)的表達式；(Ⅱ)當(dāng)n取何值時，f(n)有最大值．題型四 求解探索性問題數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】 已知{an}的前n項和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使【點評】在導(dǎo)出矛盾時須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個陷阱.【例8】(08全國Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【點評】 一般地，如果求條件與前n項和相關(guān)的數(shù)列的通項公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴大或縮小、項數(shù)的增加與減少等手段達到證明的目的.【例3】 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整1數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點評】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進行變形，途徑主要有：（1）2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立219。f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=198。.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進行一步步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)的知識,一般過渡的結(jié)論很,不同的是它把問題直接改變?yōu)橐坏肋\算式,這樣就把問題變?yōu)檫\算式結(jié)果與零比較大小,因為題目所給的數(shù)字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,它一般具有特殊的條件如a+b=1, a2+b2=1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角函數(shù)值的范圍,值的范圍,可采用,使中學(xué)生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,（論文）參考文獻[1][A],2002(1):54～55 [2][J],2009:55～57 [3][A],2014(1):220～221 [4],1995(3):31～33 [5],1999(4):101～103 [6][A],2013(7):7～8 [7],2013(2):88～90 [8][A],2012(2):64 [9][J],2012:72～73 [10][J],2012(8):28～30 [11][A],2012:60～61 [12][J],2012:81～82 [13][J],2012:13～15 [14][J],2012:92 [15][A],2012(4):108～109第二篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明的常用方法經(jīng)典例題關(guān)于不等式證明的常用方法(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 典型題例例1證明不等式1+12+13+L+1n2n(n∈N*)知識依托 本題是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 例2求使x+y≤ax+y(x＞0，y＞0)恒成立的a 知識依托 該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba證法一(分析綜合法）證法二(均值代換法)證法三(比較法）證法四(綜合法)證法五(三角代換法）鞏固練習(xí)已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且ab+=1，x+y的最小值為xy設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________ 已知a，b，c為正實數(shù)，a+b+c=1求證1(2)a+2+3b+2+c+2≤6312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥證明下列不等式b+c2c+a2a+b2z≥2(xy+yz+zx)x+y