高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧-資料下載頁
2025-04-04 05:05本頁面
【正文】 x2)=a2x1(1x1)x2(1x2)≤a2≤。[答案] 見證明過程例29 若aa…、a11成等差數(shù)列，且a12+a112≤100，求S=a1+a2+…+a11的最大值和最小值。【巧解】基本不等式法、綜合法(a1+a11)2=a12+2a1a11+a112≤2(a12+a112)≤200,∴|a1+a11|≤10，又aa…、a11成等差數(shù)列,∴S=a1+a2+…+a11=(a1+a11),∴ Smax=55，Smin=55.[答案] Smax=55，Smin=55.例30若0≤x,y≤1，求證：+++≥2 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)成立。Gy=()xFy=()xEy=()xPy=()xDy=()xCy=()xBy=()xAy=()x1yy=()xyy=()x1xy=()xxy=()xH【巧解】構(gòu)造法如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，BH=x,AE=y,則HC=1x,BE=1y,于是AP=,BP=,DP=, PC=,由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=?？?此時(shí)結(jié)論是不是顯然的了？[答案] 見證明過程例31 設(shè)m是方程ax2+bx+c=0的實(shí)根，且abc0,求證：|m|1.【巧解】綜合法設(shè)方程的另一根為n,則由韋達(dá)定理得m+n= 0,mn=0,∴ m,n同為負(fù)數(shù)，∴ 1|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|1,|n|1.∴結(jié)論成立。[答案] 見證明過程例32 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a0),設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)根為x1和x2，如果x12x24,且函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0,求證：x01.a(,)b【巧解】 數(shù)形結(jié)合法設(shè)g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1,由題意得,即,目標(biāo)是證明1,即（不含邊界），而表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，易見2,故命題成立。[答案] 見證明過程例33 已知≤ak≤1(k∈N+),求證：a1a2…an+(1a1)(1a2)…(1an)≥.【巧解】增量法、換元法設(shè)令ak=+bk(0≤bk≤)，則原式左邊=(+b1)(+b2)…(+bn)+( b1)( b2)…( bn)=[()n+M]+[()n+N]=()n1+M+N≥()n1=右邊，∴原式成立。[答案] 見證明過程（注：多項(xiàng)式M和N正負(fù)抵消部分項(xiàng)后，所余部分和必為非負(fù)數(shù)。）例35 已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx++c=0,f(x)在[1,1]上的最大值是2，最小值是。證明：a≠0且||2. 【巧解】反證法假設(shè)a=0或||≥2。（1）若a=0,則由a+c=0,得c=0,∴f(x)=≠0，∴f(x)在[1,1]是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。f(x)min=|b|,于是|b|=2,|b|= ,由此得矛盾；（2）若||≥2,則||≥1且a≠0，因此區(qū)間[1,1]在拋物線f(x)=ax2+bxa的對(duì)稱軸x=的左側(cè)或右側(cè)，∴函數(shù)f(x)在[1,1]上是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。f(x)=|b|,由（1）知這是不可能的。綜合（1）（2）知，命題成立。[答案] 見證明過程例36 是否存在常數(shù)C，使得不等式+≤C≤+，對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？試證明你的結(jié)論?！厩山狻糠治龇顇=y=1，得≤C≤，所以C=。下面給出證明：(1) 先證明：+≤，因?yàn)閤0,y0,要證： + ≤，只要證 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即證：x2+yy≥2xy,這顯然成立，∴ +≤；（2）再證：+≥，只需證：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),即證：x2+y2≥2xy,這顯然成立，∴+≥。綜合（1）、（2）得，存在常數(shù)C=，使對(duì)于任何正數(shù)x,y都有+≤≤+成立。[答案] 存在常數(shù)C=,證明略. 12 / 12
數(shù)學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1