高中數(shù)學不等式解題技巧(編輯修改稿)
2025-05-01 05:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 |y|這樣選A就是極自然的事了。ab1Oyx ()x()x[答案] A。例5已知實數(shù) a，b滿足等式()a=()b，下列五個關(guān)系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a=【 】.（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個【巧解】數(shù)形結(jié)合法在同一坐標系內(nèi)同時畫出兩個函數(shù)圖象：y1=()x,y2=()x,(如圖)作直線y=m(m0圖中平行于x軸的三條虛線),由圖象可以看到：當0m1時,0ba。當m=1時,a=b。當m1時,ab，選B。[答案] B。例6 如果數(shù)列｛an｝是各項都大于0的等差數(shù)列，且公差d≠0，則【 】.（A）a1+a8a4+a5 （B）a1+a8=a4+a5 （C）a1+a8a4+a5 （D）a1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取an=n,則a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,∴a1 +a8=a4+a5,故選B。12oyx[答案] B。例8 已知a,b,c均為正實數(shù)，則三個數(shù)a+, b+, c+與2的關(guān)系是【 】A、都不小于2 B、至少有一個不小于2 C、都不大于2 D、至少有一個不大于2【巧解】整體化思想將a+, b+, c+“化整為零”，得a++b++c+= a++b++c+≥6，故已知的三個數(shù)中至少有一個不小于2。故選B。[答案] B例9 解不等式 –11.【巧解】數(shù)軸標根法、等價轉(zhuǎn)化法原不等式等價于 （3x+x24)(3xx2+4)0，即(x+4)(x1)(x+1)(x4)0,由數(shù)軸標根法，知解集為{x|x4或1x1或x4}。[答案] {x|x4或1x1或x4}注：可以證明不等式mn與不等式[f(x)mg(x)][f(x)ng(x)]0等價。例10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______.【巧解】 數(shù)形結(jié)合法由數(shù)軸上點的意義知，上述不等式的意義是數(shù)軸上的點x到2的距離不小于到原點的距離。由圖形，易知，x≥1。[答案] {x|x≥1}例11已知c0，不等式x+|x2c|1的解集是R，求c的取值范圍。【巧解】等價轉(zhuǎn)化法要使原不等式的解集為R，只需不等式中不含x即可，故有 xx+2c1 ∴ c。[答案] c注：這里將|x2c|中去絕對值的討論簡化為符合題意的一種，顯然簡捷、精彩！例12已知f(x)=(xa)(xb)2 (ab),方程 f(x)=0的兩實根為m,nmba2xOn(mn),試確定a,b,m,n的大小關(guān)系?！厩山狻繑?shù)形結(jié)合法令g(x)= (xa)(xb),則 f(x)=g(x)2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的兩根m,n可看成直線y=2與y=g(x)交點的橫坐標，畫出f(x),g(x)的圖象，由圖象容易得到mabn.[答案] mabn.例13 若0abcd,且a2+d2=b2+c2,求證：a+db+c.【巧解】綜合法由0abcd,得dacb,∴(da)2(bc)2,又(a+d)2+(ad)2=(b+c)2+(bc)2,兩式相減，得(a+d)2(b+c)2, ∴ a+db+c.[答案] 見證明過程注：本題的幾何意義是：在RtΔABC與RtΔABD中，其中AB為公共的斜邊。若BCBD,則ACAD.例14 求征：1+++…+2 (n≥2,n∈N*).【巧解】逆用公式法、放縮法逆用數(shù)列的前n項和的方法來求。設(shè)想右端2是某數(shù)列{an}的前n項和，即令Sn=2,則n≥2時，an=SnSn1=(2)(2)==, 這樣問題就轉(zhuǎn)化為,而這顯然?！嗝}成立。 [答案] 見證明過程例15 已知abc,求證：++0.【巧解】放縮法∵0abac,∴由倒數(shù)法則（難點巧學）得,而0,∴ +, ∴原式得證。[答案] 見證明過程例16 已知a,b,c均為正數(shù)，求證：3( )≥2( )?！厩山狻勘容^法、基本不等式
數(shù)學相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1