高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧-wenkub
2023-04-19 05:05:59 本頁(yè)面
【正文】 a||b||, |ab|=|a|+|b|.簡(jiǎn)單地說(shuō)就是當(dāng)a,b同號(hào)或異號(hào)時(shí)，不等式就可轉(zhuǎn)化為等式（部分地轉(zhuǎn)化），這為解決有關(guān)問(wèn)題提供了十分有效的解題工具。二、小小等號(hào)也有大作為——絕對(duì)值不等式的應(yīng)用絕對(duì)值不等式：||a||b||≤|a177。此法則在證明或解不等式中有著十分重要的作用。如：（1998年高考題改編）解不等式loga(1)1.分析：當(dāng)a1時(shí)，原不等式等價(jià)于：1a,即 1a ,∵a1,∴1a0, 0,從而1a, 同號(hào)，由倒數(shù)法則，得x。b|≤|a|+|b|。如：若1,則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A、logablogba B、| logab+logba|2 C、(logba)21 D、|logab|+|logba||logab+logba|分析：由已知，得0ba1,∴a,b同號(hào)，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，∴D錯(cuò)。常用畫數(shù)軸的方法來(lái)確定,?下面的方法就十分有效。再將x0與x1分別與⑤作交集,由x0與⑤得0x2。若無(wú)公共部分，則此時(shí)為空集（看中間），最后將“抓兩頭”和“看中間”的結(jié)果作并集即為所求的解集。當(dāng)然你也可以根據(jù)需要推導(dǎo)一些公式。試試下面兩個(gè)問(wèn)題如何解:求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac。(a,b0)利用不等關(guān)系實(shí)現(xiàn)兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)積之間的轉(zhuǎn)化；注：涉及兩數(shù)和、兩數(shù)的平方和及兩數(shù)積的問(wèn)題是一個(gè)十分常見(jiàn)的問(wèn)題，利用⑤、⑥兩式可以使其中的關(guān)系一目了然。這在解不等式相關(guān)問(wèn)題中就很有作為！請(qǐng)看下例：例：已知1a1,1b1,求證：+≥.分析：由上不等式，立即得到 +≥≥=。如分析法就是一種重要的思維方法，在數(shù)學(xué)的其他章節(jié)中也有廣泛的應(yīng)用。例2 不等式組的解集為【 】 (A) (0,)； (B) (,2)； (C) (,4)； (D) (2,4)。例4 0a1，下列不等式一定成立的是【 】.（A）|log(1+a)(1a) |+| log(1a)(1+a)|2 （B）| log(1+a)(1a)|| log(1a)(1+a) |（C）| log(1+a)(1a)+log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)|+|log(1a)(1+a)|（D）| log(1+a)(1a)log(1a)(1+a)|| log(1+a)(1a)||log(1a)(1+a)|【巧解】換元法、綜合法由于四個(gè)選項(xiàng)中只涉及兩個(gè)式子log(1+a)(1a) 和log(1a)(1+a)，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算看清問(wèn)題的本質(zhì)，不妨設(shè)x= log(1+a)(1a),y= log(1a)(1+a),由0a1知，x0,y0且x≠y,于是四個(gè)選項(xiàng)便為：A |x|+|y|2 B |x||y| C |x+y| |x|+|y| D |xy| |x||y|這樣選A就是極自然的事了。當(dāng)m1時(shí),ab，選B。例8 已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)a+, b+, c+與2的關(guān)系是【 】A、都不小于2 B、至少有一個(gè)不小于2 C、都不大于2 D、至少有一個(gè)不大于2【巧解】整體化思想將a+, b+, c+“化整為零”，得a++b++c+= a++b++c+≥6，故已知的三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2。例10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______.【巧解】 數(shù)形結(jié)合法由數(shù)軸上點(diǎn)的意義知，上述不等式的意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到2的距離不小于到原點(diǎn)的距離。[答案] c注：這里將|x2c|中去絕對(duì)值的討論簡(jiǎn)化為符合題意的一種，顯然簡(jiǎn)捷、精彩！例12已知f(x)=(xa)(xb)2 (ab),方程 f(x)=0的兩實(shí)根為m,nmba2xOn(mn),試確定a,b,m,n的大小關(guān)系?！嗝}成立。[答案] 見(jiàn)證明過(guò)程例18 已知a+b=1(a,b∈R)，求證：(a+1)2+(b+1)2≥。[答案] 見(jiàn)證明過(guò)程例20 已知f(x)=，若ab0,c=2,求證：f(a)+f(c
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