高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧(參考版)
2025-04-07 05:05本頁面
【正文】 綜合（1）、（2）得，存在常數(shù)C=，使對(duì)于任何正數(shù)x,y都有+≤≤+成立?！厩山狻糠治龇顇=y=1，得≤C≤，所以C=。綜合（1）（2）知，命題成立。f(x)min=|b|,于是|b|=2,|b|= ,由此得矛盾；（2）若||≥2,則||≥1且a≠0，因此區(qū)間[1,1]在拋物線f(x)=ax2+bxa的對(duì)稱軸x=的左側(cè)或右側(cè)，∴函數(shù)f(x)在[1,1]上是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。證明：a≠0且||2. 【巧解】反證法假設(shè)a=0或||≥2。[答案] 見證明過程（注：多項(xiàng)式M和N正負(fù)抵消部分項(xiàng)后，所余部分和必為非負(fù)數(shù)。[答案] 見證明過程例32 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a0),設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)根為x1和x2，如果x12x24,且函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0,求證：x01.a(,)b【巧解】 數(shù)形結(jié)合法設(shè)g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1,由題意得,即,目標(biāo)是證明1,即（不含邊界），而表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，易見2,故命題成立。Gy=()xFy=()xEy=()xPy=()xDy=()xCy=()xBy=()xAy=()x1yy=()xyy=()x1xy=()xxy=()xH【巧解】構(gòu)造法如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，BH=x,AE=y,則HC=1x,BE=1y,于是AP=,BP=,DP=, PC=,由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=。[答案] 見證明過程例29 若aa…、a11成等差數(shù)列，且a12+a112≤100，求S=a1+a2+…+a11的最大值和最小值。[答案] 見證明過程例28 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且方程f(x)=0的兩根xx2都在(0,1)內(nèi)，求證:f(0)f(1)≤.【巧解】待定系數(shù)法、基本不等式法因方程有兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,故可設(shè)f(x)=a(xx1)(xx2),于是f(0)f(1)=ax1x2[答案] 見證明過程例25 設(shè)a,b,c為ΔABC的三條邊，求證：a2+b2+c22(ab+bc+ca).【巧解】綜合法∵a+bc,b+ca,c+ab,∴三式兩邊分別乘以c,a,b得ac+bcc2,ab+aca2,bc+abb2,三式相加并整理得, a2+b2+c22(ab+bc+ca).[答案] 見證明過程例26 解不等式 + x35x0.【巧解】構(gòu)造法,綜合法原不等式等價(jià)于()3+5()x3+5x,構(gòu)造函數(shù)f(x)= x3+5x,則原不等式即為f()f(x)，又f(x)在R上是增函數(shù)，∴x,解此不等式得 x2或1x1?！厩山狻颗錅惙?、升冪法不等式兩邊配上，再運(yùn)用均值不等式升冪。[答案] x∈(∞,)∪(0,+∞)。3.【巧解】構(gòu)造法，定比分點(diǎn)法把、[答案] 1≤m.注：本題應(yīng)用了偶函數(shù)的一個(gè)簡單的性質(zhì)，從而避免了一場“大規(guī)?！钡挠懻?，值得關(guān)注。例22設(shè)定義在[2,2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！厩山狻康葍r(jià)轉(zhuǎn)化法,數(shù)形結(jié)合法將y= x2+2ax2b+1與 y=x2+(a3)x+b21兩式相加，得 2y=(3a3)x+b22b,此即為直線MN的方程（其中M、N分別為兩函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）；另一方面，由題意知，MN即x軸，其方程為y=0,比較兩式的系數(shù)得，3a3=0,b22b=0,從而易得a=1,b=0或2，特別地當(dāng)a=1,b=0時(shí)，兩不等式的解集為{1}，也符合題意。[答案] 見證明過程例20 已知f(x)=，若ab0,c=2,求證：f(a)+f(c)1.【巧解】基本不等式法、放縮法可以證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。 顯然Q(a,b)是直線L：x+y=1上的點(diǎn)，(a+1)2+(b+1)2表示點(diǎn)Q與P(1,1)的
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