【文章內容簡介】 判斷所設函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設F(x)=f(x)g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。換元后作差構造函數(shù)證明31分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結構出發(fā)，只需令=x，則問題轉化為：當x0時，恒n【例3】（2007年，山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(+1)有l(wèi)n(x+1)xx成立，現(xiàn)構造函數(shù)h(x)=xx+ln(x+1)，求導即可達到證明。【綠色通道】令h(x)=xx+ln(x+1)，32233213x3+(x1)2=則h162。(x)=3x2x+在x206。(0,+165。)上恒正，x+1x+12所以函數(shù)h(x)在(0,+165。)上單調遞增，∴x206。(0,+165。)時，恒有h(x)h(0)=0，即xx+ln(x+1)0，∴l(xiāng)n(x+1)xx對任意正整數(shù)n，取x=32231111206。(0,+165。)，則有l(wèi)n(+1)23 nnnn【警示啟迪】我們知道，當F(x)在[a,b]上單調遞增，則xa時，有F(x)F(a)．如果f(a)＝j(a)，要證明當xa時，f(x)j(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－j(x)，就可以利用F(x)的單調增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F39。(x)０即可．從條件特征入手構造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導且滿足不等式xf162。(x)－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足ab，求證：．a(chǎn)f(a)bf(b)【綠色通道】由已知 xf162。(x)+f(x)0 ∴構造函數(shù) F(x)=xf(x)，則F(x)= xf162。(x)+f(x)0，從而F(x)在R上為增函數(shù)。39。Qab ∴F(a)F(b)即 af(a)bf(b)【警示啟迪】由條件移項后xf162。(x)+f(x)，容易想到是一個積的導數(shù)，從而可以構造函數(shù)F(x)=xf(x)，求導即可完成證明。若題目中的條件改為xf162。(x)f(x)，則移項后xf162。(x)f(x)，要想到是一個商的導數(shù)的分子，平時解題多注意總結。【思維挑戰(zhàn)】2（2007年，安徽卷）設a179。0,f(x)=x1lnx+2alnx求證：當x1時，恒有xlnx2alnx+1，（2007年，安徽卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)2f(x)=52122x+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a0，且b=a3alna，22求證：f(x)179。g(x)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)恒有l(wèi)nalnb179。1x，求證：對任意的正數(shù)a、b，1+、（2007年，陜西卷）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足xf162。(x)f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a b，則必有（）（A）af(b)≤bf(a)（C）af(a)≤f(b)【答案咨詢】提示：f162。(x)=1∴（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)2lnx2a2lnx，當x1，a179。0時，不難證明+1 xxxf162。(x)0，即f(x)在(0,+165。)內單調遞增，故當x1時，2f(x)f(1)=0，∴當x1時，恒有xlnx2alnx+13a2122提示：設F(x)=g(x)f(x)=x+2ax3alnxb則F162。(x)=x+2a x2(xa)(x+3a)=(x0)Qa0，∴ 當x=a時，F(xiàn)162。(x)=0，x故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,+165。)上為增函數(shù)，于是函數(shù)F(x)在(0,+165。)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0，故當x0時，有f(x)g(x)179。0，即f(x)179。g(x)提示：函數(shù)f(x)的定義域為(1,+165。)，f162。(x)=11x =221+x(1+x)(1+x)∴當1x0時，f162。(x)0，即f(x)在x206。(1,0)上為減函數(shù)當x0時，f162。(x)0，即f(x)在x206。(0,+165。)上為增函數(shù)因此在x=0時,f(x)取得極小值f(0)=0，而且是最小值 x1，即ln(1+x)179。1 1+x1+xa1bab令1+x=0,則1=1于是ln179。1 bx+1abab因此lnalnb179。1 a于是f(x)179。f(0)=0,從而ln(1+x)179。xf39。(x)f(x)f(x)f(x)提示：F(x)=，F(xiàn)162。(x)=，故在（0，+∞）上是減函數(shù)，由163。0F(x)=2xxxab 有f(a)f(b)179。222。 af(b)≤bf(a)故選（A）ab第三篇：利用導數(shù)證明不等式的常見題型與技巧利用導數(shù)證明不等式的常見題型與技巧例題：已知函數(shù)g(x)=xlnx，設0ab，證明：0g(a)+g(b)2(a+b)(ba)，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設輔助函數(shù)時就把其中一個端點設為自變量，范例中選用右端點，讀者不妨設為左端點試一試，就能體會到其中的奧妙了。技巧：①利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再由單調性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。②解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結構特征構造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關鍵。利用題目所給函數(shù)證明1【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有1163。ln(x+1)163。x x+1【警示啟迪】如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大（?。┲?，則有f(x)163。f(a)（或f(x)179。f(a)），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證．直接作差構造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=1x2+：在區(qū)間(1,+165。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)2g(x)=23的圖象的下方； x3【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數(shù)），并利用導數(shù)判斷所設函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設F(x)=f(x)g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。換元后作差構造函數(shù)證明【例3】證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(1+1)1213 nn【警示啟迪】我們知道，當F(x)在[a,b]上單調遞增，則xa時，有F(x)F(a)．如果f(a)＝j(a)，要證明當xa時，f(x)j(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－j(x)，就可以利用F(x)的單調增性來推導．也就是說，在F(x)可導的前提下，只要證明F39。(x)０即可．從條件特征入手構造函