高中數(shù)學不等式練習題-資料下載頁
2025-04-04 05:05本頁面
【正文】 ＞3即＞3【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．使用基本不等式時一定要把握好“一定，二正，三相等”的原則． 23．（2017?泉州模擬）設a、b為正實數(shù)，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【分析】（1）根據(jù)基本不等式得出ab（a=b時等號成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b時等號成立）求解即可．（2）根據(jù)+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a、b為正實數(shù)，且+=2．∴a、b為正實數(shù)，且+=2≥2（a=b時等號成立）．即ab（a=b時等號成立）∵a2+b2≥2ab=（a=b時等號成立）．∴a2+b2的最小值為1，（2）∵且+=2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b為正實數(shù)，∴ab=1【點評】本題考查了基本不等式，考查了運用基本不等式求函數(shù)的最值，運用基本不等式求函數(shù)最值時，要保證：“一正、二定、三相等”，此題是基礎題 24．（2017?唐山一模）已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=5？并說明理由．【分析】（1）根據(jù)基本不等式的性質求出的最小值即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質得到（x+1）（y+1）的最大值是4，從而判斷出結論即可．【解答】解：（1），當且僅當x=y=1時，等號成立．所以的最小值為2．（2）不存在．因為x2+y2≥2xy，所以（x+y）2≤2（x2+y2）=2（x+y），∴（x+y）2﹣2（x+y）≤0，又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．從而有（x+1）（y+1）≤≤=4，因此不存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=5．【點評】本題考查了基本不等式的性質，注意應用性質的條件，本題是一道中檔題． 25．（2017?天津一模）某車間計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品每噸消耗A原料6噸、B原料4噸、C原料4噸，乙種產(chǎn)品每噸消耗A原料3噸、B原料12噸、C原料6噸．已知每天原料的使用限額為A原料240噸、B原料400噸、C原料240噸．生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸可獲利900元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸可獲利600元，分別用x，y表示每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的噸數(shù)（Ⅰ）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；（Ⅱ）每天分別生甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，才能使得利潤最大？并求出此最大利潤．【分析】（Ⅰ）寫出約束條件，畫出圖象即可，（Ⅱ）設出目標函數(shù)，欲求利潤最大，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標函數(shù)看成是一條直線，分析目標函數(shù)Z與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y滿足的數(shù)學關系式為，該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分．（Ⅱ）解：設利潤為z萬元，則目標函數(shù)z=900x+600y，所以y=﹣x+，這是斜率為﹣，在y軸上的截距為的一族平行直線．當取最大值時，z的值最大，又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z=900x+600y經(jīng)過可行域中的點M時，截距的值最大，即z的值最大．解方程組，得點M的坐標為（30，20），所以Zmax=90030+60020=39000．故每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品30噸，乙種產(chǎn)品20噸時利潤最大，且最大利潤為39000元．【點評】本題主要考查生活中的優(yōu)化問題，利用條件建立二元二次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識進行求解是解決本題的關鍵． 26．（2017?濱海新區(qū)模擬）某家公司每月生產(chǎn)兩種布料A和B，所有原料是三種不同顏色的羊毛．下表給出了生產(chǎn)每匹每種布料所需的羊毛量，以及可供使用的每種顏色的羊毛的總量．羊毛顏色每匹需要/kg供應量/kg布料A布料B紅331050綠421200黃261800已知生產(chǎn)每匹布料A、B的利潤分別為60元、40元．分別用x、y表示每月生產(chǎn)布料A、B的匹數(shù)．（Ⅰ）用x、y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關系式，并畫出相應的平面區(qū)域；（Ⅱ）如何安排生產(chǎn)才能使得利潤最大？并求出最大的利潤．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件建立不等式關系，利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域進行作圖即可．（Ⅱ）求出目標函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識進行求解．【解答】解：（Ⅰ）設每月生產(chǎn)布料A、B分別為x匹、y匹，利潤為Z元，則，對應的可行域如圖：（Ⅱ）設最大利潤為z，則目標函數(shù)為 z=60x+40y，則y=﹣x+，平移直線y=﹣x+，當直線y=﹣x+經(jīng)過可行域上M時，截距最大，即z最大． 解方程組，得M的坐標為x=250，y=100 所以zmax=60x+40y=19000．答：該公司每月生產(chǎn)布料A、B分別為250、100匹時，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是19000 元．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，建立約束條件，利用線性規(guī)劃的知識進行求解是解決本題的關鍵． 第25頁（共25頁）
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