高中數學-基本不等式課件-資料下載頁
2025-07-23 17:21本頁面
【正文】 頂部每平方米造價 20元 ． 試問： (1)倉庫底面積 S的最大允許值是多少 ？ (2)為使 S達到最大 ， 而實際投資又不超過預算 ， 那么正面鐵柵應設計為多長 ？ 解 設鐵柵長為 x 米，一堵磚墻長為 y 米， 則有 S ＝ xy ，由題意得： 40 x ＋ 2 45 y ＋ 20 xy ＝ 3 200. ( 1) 由基本不等式，得 3 200 ≥ 2 40 x 90 y ＋ 20 xy ＝ 120 xy ＋ 20 xy ＝ 120 S ＋ 20 S ， ∴ S ＋ 6 S ≤ 160 ，即 ( S ＋ 16) ( S － 10) ≤ 0. ∵ S ＋ 16 0 ， ∴ S － 10 ≤ 0 ，從而 S ≤ 100. ∴ S 的最大允許值是 100 m2. ( 2) S 取最大值的條件是 40 x ＝ 90 y ， 又 xy ＝ 100 ，由此解得 x ＝ 15. ∴ 正面鐵柵的長度應設計為 15 米． 誤區(qū)警示 忽視基本不等式應用條件致誤 【示例】 函數 y ＝ x ＋1x － 1( x ≠ 1) 的值域 是 ____ ___ _ ． [ 錯解 ] 由 y ＝ x ＋1x － 1＝ x － 1 ＋1x － 1＋ 1 ≥ 2 ? x － 1 ? 1x － 1＋ 1 ＝ 3 ，得出 y ∈ [3 ，＋ ∞ ) ． 答案 [3，＋ ∞) 本題易出現(xiàn)的錯誤有兩個方面：一是不會“ 湊 ” ，不能根據函數解析式的特征適當變形湊出兩式之積為定值；二是利用基本不等式求解最值時，忽視因式的取值范圍，直接套用基本不等式求最值． [ 正解 ] 當 x ＞ 1 時， y ＝ x ＋1x － 1 ＝ x － 1 ＋1x － 1＋ 1 ≥ 2 ? x － 1 ? 1x － 1＋ 1 ＝ 3 ，當且僅當 x － 1 ＝1x － 1；即 x ＝ 2 時等號成立； 當 x ＜ 1 時，－ y ＝－ x ＋11 － x ＝ 1 － x ＋11 － x－ 1 ≥ 2 ? 1 － x ? 11 － x－ 1 ＝ 1 即 y ≤ － 1 ，當且僅當 1 － x ＝11 － x ，即 x ＝ 0 時等號成立． ∴ 原函數的值域為 ( － ∞ ，－ 1] ∪ [3 ，＋ ∞ ) ． 答案 (－ ∞，－ 1]∪ [3，＋ ∞) 利用基本不等式求最值，關鍵是對式子恰當的變形，合理構造“和式”與“積式”的互化，必要時可多次應用基本不式．注意一定要求出使“＝”成立的自變量的值，這也是進一步檢驗是否存在最值的重要依據 .
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