【正文】 函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度為（參見示意圖1）（ii）時，不妨設(shè)，則，于是當(dāng)時，有，從而；當(dāng)時，有Oyx(a,f(a))(b,f(b))(x0,y0)(p2,2)(p1,1)圖2從而 ；當(dāng)時，及，由方程 解得圖象交點的橫坐標(biāo)為 ⑴顯然，這表明在與之間。由⑴易知 綜上可知，在區(qū)間上， （參見示意圖2）故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得 ⑵故由⑴、⑵得 綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為。評注：本題的條件比較復(fù)雜，題目中解析式需要自己根據(jù)條件確定，進行分類討論。解決本題的障礙在于有可能讀不懂題意，條件比較抽象，從而對問題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生障礙，不能夠做到善始善終地解決徹底。參數(shù)對函數(shù)單調(diào)性（極值點）的影響例10．（2008山東卷，理）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點；（Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．分析：先求得函數(shù)的定義域，再通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性是在的前提下完成的，由（Ⅰ）可知在（Ⅱ）中求函數(shù)的極值點需要對的取值以為界限分類判斷。另外還要注意到函數(shù)的定義域，需要對求出的極值點是否在定義域內(nèi)作出判斷。（Ⅲ）可通過觀察不等式與所給函數(shù)的關(guān)系，就不難發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，實質(zhì)上當(dāng)，時，需要構(gòu)造函數(shù)即可。解：(I) 函數(shù)的定義域為.，令，則在上遞增，在上遞減，.當(dāng)時，在上恒成立.即當(dāng)時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當(dāng)時函數(shù)無極值點.（2）當(dāng)時，時，時，時，函數(shù)在上無極值點。（3）當(dāng)時，解得兩個不同解，.當(dāng)時，，此時在上有唯一的極小值點.當(dāng)時，在都大于0 ，在上小于0 ，此時有一個極大值點和一個極小值點.綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數(shù)在上無極值點。（III） 當(dāng)時，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒有.即當(dāng)時，有，對任意正整數(shù)，取得評注：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明方法。求導(dǎo)是判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的最有效的方法。（II）需要分類討論，由（I）可知分類的標(biāo)準(zhǔn)為（III）構(gòu)造新函數(shù)為證明不等式“服務(wù)”，構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)是不等式關(guān)系中隱含的易于判斷的函數(shù)關(guān)系。注意參數(shù)的取值范圍對函數(shù)的單調(diào)性的影響，必要時要進行分類討論。由圓錐曲線的范圍引發(fā)的討論yO...Mx.例11．（2007上海文）我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，．如圖，設(shè)點，是相應(yīng)橢圓的焦點，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點．求證：當(dāng)取得最小值時，在點或處；（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標(biāo)．分析： 本題中的果圓兩部分之間的聯(lián)系在于有共同的頂點，以此為據(jù)求解方程。（2）（3）則由距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)研究最值。但要注意圓錐曲線的范圍，即得到二次函數(shù)的定義域，在其定義域內(nèi)求函數(shù)的最值。解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為，． （2）設(shè)，則 ， ， 的最小值只能在或處取到．即當(dāng)取得最小值時，在點或處． （3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可． ． 當(dāng)，即時，的最小值在時取到，此時的橫坐標(biāo)是． 當(dāng)，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標(biāo)是． 綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時，點的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時，點的橫坐標(biāo)是或． 評注：本題的創(chuàng)意在于把焦點在軸上和焦點在軸上的橢圓聯(lián)為一體，看似陌生實質(zhì)為基本知識，要善于發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，在把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時，應(yīng)該有函數(shù)意識，尋求函數(shù)的定義域，即圓錐曲線的范圍，并在定義域內(nèi)求值域。例12．（2007陜西卷，文22）已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.(Ⅰ)求橢圓C的方程。(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.分析：要求三角形的面積，需要由斜截式寫出直線的方程，解方程組求弦長和頂點到直線的距離，但用斜截式寫方程時要注意其斜率是否存在，不定則需討論。解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)，．（1）當(dāng)軸時，．（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為．由已知，得．把代入橢圓方程，整理得，．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．當(dāng)時，綜上所述．當(dāng)最大時，面積取最大值．評注：在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在。一般要分情況討論。由位置關(guān)系引發(fā)的討論例13．（2008廣東省深圳中學(xué)）已知方程 （1）當(dāng)時，求方程的各個實根；（2）若方程 均在直線的同側(cè)，求實數(shù)的取值范圍。分析：本題通過解方程組研究曲線的交點，交點均在直線的同側(cè)，可能在直線的左側(cè)，也可能是直線的右側(cè)，結(jié)合函數(shù)的圖象，把問題轉(zhuǎn)化為特殊點滿足的不等式組解答。解：（1）當(dāng)時，解得（2）函數(shù)的圖象相交于兩點（2，2），（—2，—2）函數(shù)的圖象相交于兩點（1，1），（—1，—1）①當(dāng)時，點的直線的異側(cè)②當(dāng)時，要使與的兩個交點在同直線的右側(cè)滿足；當(dāng)時，要使與的兩個交點在同直線的左側(cè)需滿足所以滿足條件的的取值范圍是（評注：本題綜合考查方程與函數(shù)的數(shù)學(xué)思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想20090105，數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的思想。結(jié)合圖形以位置關(guān)系為界進行分類討論。從特殊點入手，把問題進行巧妙地轉(zhuǎn)化。例14．從6種小麥品種中選出4種，分別種植在不同土質(zhì)的4塊土地上進行試驗，已知1號，2號小麥品種不能在試驗田甲這塊地上種植，則不同的種植方法有（ ）分析：由于本題中有特殊的元素和多余的元素，所以需要根據(jù)特殊元素有沒有入選進行分類。解：分三類：（1）不選1號，2號小麥品種，有種選法； （2）1號，2號小麥品種只選1種，有種不同的選法；（3）1號，2號小麥品種都選，有種選法。綜上，共有240種選法。答案：240評注：在排列組合中，常常遇到不同的情況，需要根據(jù)實際進行恰當(dāng)?shù)胤诸?，分類時要做到不重不漏。例5．已知，求的值解析：已知，但不知角所在的象限或終邊落在哪個坐標(biāo)軸上；應(yīng)根據(jù)的值來確定角所在的象限或終邊落在哪個坐標(biāo)軸上，然后分不同的情況來求的值。（1）當(dāng)，即（此時角的終邊在軸上）時，（2）當(dāng)，為第一或第三象限角若角在第三象限，則若角在第三象限，則（3）當(dāng)，為第二或第四象限角若角在第二象限，則若角在第四象限，則綜上所述，當(dāng)角在第一象限、軸的正方向及第四象限角時，當(dāng)角在第二象限、軸的負方向及第三象限角時，概率中的分類整合例15．（2008南通四縣市）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為．（1）求直線與圓相切的概率；（2）將,5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率．分析：先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為會發(fā)生的所有情況有36個基本事件，然后再把直線與圓相切的條件寫出，從中查出滿足條件的基本事件。而圍成等腰三角形需要判斷誰是底，誰是腰，需要根據(jù)的不同取值進行討論，在討論時可以以一個為主，一個為輔進行分類。解：（1）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為,事件總數(shù)為66=36．∵直線與圓相切的充要條件是即：，由于∴滿足條件的情況只有；或兩種情況． ∴直線與圓相切的概率是 （2）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為,事件總數(shù)為66=36．∵三角形的一邊長為5∴當(dāng)時， 1種 當(dāng)時， 1種 當(dāng)時， 2種 當(dāng)時， 2種 當(dāng)時， 6種 當(dāng)a=6時， 2種 故滿足條件的不同情況共有14種答：三條線段能圍成不同的等腰三角形的概率為． 評注：本題中由三角形的形狀引發(fā)的對字母的不同取值討論，分類時要按一定的次序進行，做到不重不漏。例16．（2008福建卷，20）某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當(dāng)科目A成績合格時，，科目A每次考試成績合格的概率均為，.（Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率；（Ⅱ）在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E.分析：在這項考試過程中，此人參加考試的次數(shù)為，會出現(xiàn)多種情況， 取2時，說明他一次性通過，順利拿到畢業(yè)證，取3時，說明他需要補考一次，分兩種情況，取4時，說明他需要補考兩門，分別計算求出。解:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B，“科目B補考合格”為事件B.(Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為A1B1,注意到A1與B1相互獨立，則.答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為.(Ⅱ)由已知得，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得故答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.評注：在求互斥事件的概率和相互獨立事件的概率和隨機變量的分布列時，常常要根據(jù)實際情況分多種不同的情況進行分類討論。本小題主要考查概率的基本知識與分類思想,考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.數(shù)列中的分類整合例17．（2007上海卷，理20）若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。（1）已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，試寫出的每一項（2）已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？（3）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和分析：本題要正確理解“對稱數(shù)列”的定義，并根據(jù)定義寫出數(shù)列，求數(shù)列的前項和為時，可以按等差數(shù)列的求和公式求出，即把轉(zhuǎn)化為求出。（3）中的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項，可以有正序、倒序以及中間是一項還是兩項等四種不同的情況，只需求出其中一種情況的前2008項和即可。解：（1）設(shè)的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為． （2） ， ， 當(dāng)時，取得最大值． 的最大值為626． （3）所有可能的“對稱數(shù)列”是： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 對于①，當(dāng)時，． 當(dāng)時， ． 對于②，當(dāng)時，． 當(dāng)時，．對于③，當(dāng)時，． 當(dāng)時，． 對于④，當(dāng)時，． 當(dāng)時，．評注：本題的關(guān)鍵是正確理解“對稱數(shù)列”的定義，并在此基礎(chǔ)上把“對稱數(shù)列”的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和求出。注意考慮問題要全面，分類做到不重不漏。1預(yù)測題（1）函數(shù)在上有最大值，則實數(shù)的取值范圍為 分析：此函數(shù)的類型不確定，需要分類討論，可以用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，也可以用配方法求二次函數(shù)的最值。解法一、當(dāng)時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。當(dāng)時，函數(shù)，其對稱軸為當(dāng)時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。當(dāng)時，當(dāng)即時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。綜上：當(dāng)時，函數(shù)在上有最大值。解法二、由得，要使函數(shù)在上有最大值，需使在上為單調(diào)增函數(shù)，由，當(dāng)時成立，當(dāng)，得，因為在上的最大值為，所以。 綜上：當(dāng)時，函數(shù)在上有最大值。答案：評注：在函數(shù)類型不確定時要分類討論最后整和答案。（2）．（2008福建德化一中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時, (其中e是自然界對數(shù)的底, )（Ⅰ） 求的解析式。（Ⅱ）設(shè)求證：當(dāng)，時，；（Ⅲ）是否存在負數(shù)，使得當(dāng)時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由。分析：由函數(shù)的奇偶性的定義求得函數(shù)的解析式，(2)中要證明不等式在時恒成立，只需證明的最小值大于的最大值，可以通過研究函數(shù)的單調(diào)性和極值求得，（3）為存在性命題，可以先假設(shè)存在，然后通過求導(dǎo)在區(qū)間內(nèi)研究最值。由于中含有參數(shù)，而，那么可以根據(jù)與的大小關(guān)系進行分類比較。解：（Ⅰ）設(shè)，則，所以又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 故函數(shù)的解析式為 （Ⅱ）證明：當(dāng)且時，設(shè) 因為，所以當(dāng)時，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，此時單調(diào)遞增，所以 又因為，所以當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時，即 （Ⅲ）解：假設(shè)存在負數(shù)，使得當(dāng)時，有最小值是3，則①當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）②當(dāng)時，則當(dāng)時，此時函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時，此時函數(shù)是增函數(shù)．所以，解得滿足題意。綜上可知，存在負數(shù)，使得當(dāng)時，有最小值３評注：本題在導(dǎo)函數(shù)的正負判斷上出現(xiàn)分歧，需要對的不同取值進行分