【正文】 函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度為（參見示意圖1）（ii）時，不妨設，則，于是當時，有，從而；當時，有Oyx(a,f(a))(b,f(b))(x0,y0)(p2,2)(p1,1)圖2從而 ；當時，及，由方程 解得圖象交點的橫坐標為 ⑴顯然，這表明在與之間。由⑴易知 綜上可知，在區(qū)間上， （參見示意圖2）故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得 ⑵故由⑴、⑵得 綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為。評注：本題的條件比較復雜，題目中解析式需要自己根據(jù)條件確定，進行分類討論。解決本題的障礙在于有可能讀不懂題意，條件比較抽象，從而對問題的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生障礙，不能夠做到善始善終地解決徹底。參數(shù)對函數(shù)單調(diào)性（極值點）的影響例10．（2008山東卷，理）設函數(shù)，其中．（Ⅰ）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）求函數(shù)的極值點；（Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．分析：先求得函數(shù)的定義域，再通過判斷導函數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性是在的前提下完成的，由（Ⅰ）可知在（Ⅱ）中求函數(shù)的極值點需要對的取值以為界限分類判斷。另外還要注意到函數(shù)的定義域，需要對求出的極值點是否在定義域內(nèi)作出判斷。（Ⅲ）可通過觀察不等式與所給函數(shù)的關系，就不難發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，實質(zhì)上當，時，需要構造函數(shù)即可。解：(I) 函數(shù)的定義域為.，令，則在上遞增，在上遞減，.當時，在上恒成立.即當時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當時函數(shù)無極值點.（2）當時，時，時，時，函數(shù)在上無極值點。（3）當時，解得兩個不同解，.當時，，此時在上有唯一的極小值點.當時，在都大于0 ，在上小于0 ，此時有一個極大值點和一個極小值點.綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數(shù)在上無極值點。（III） 當時，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當時，恒有.即當時，有，對任意正整數(shù)，取得評注：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用、不等式的證明方法。求導是判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的最有效的方法。（II）需要分類討論，由（I）可知分類的標準為（III）構造新函數(shù)為證明不等式“服務”，構造函數(shù)的依據(jù)是不等式關系中隱含的易于判斷的函數(shù)關系。注意參數(shù)的取值范圍對函數(shù)的單調(diào)性的影響，必要時要進行分類討論。由圓錐曲線的范圍引發(fā)的討論yO...Mx.例11．（2007上海文）我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，．如圖，設點，是相應橢圓的焦點，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點．求證：當取得最小值時，在點或處；（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．分析： 本題中的果圓兩部分之間的聯(lián)系在于有共同的頂點，以此為據(jù)求解方程。（2）（3）則由距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)研究最值。但要注意圓錐曲線的范圍，即得到二次函數(shù)的定義域，在其定義域內(nèi)求函數(shù)的最值。解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為，． （2）設，則 ， ， 的最小值只能在或處取到．即當取得最小值時，在點或處． （3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可． ． 當，即時，的最小值在時取到，此時的橫坐標是． 當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是． 綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；若，當取得最小值時，點的橫坐標是或． 評注：本題的創(chuàng)意在于把焦點在軸上和焦點在軸上的橢圓聯(lián)為一體，看似陌生實質(zhì)為基本知識，要善于發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，在把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時，應該有函數(shù)意識，尋求函數(shù)的定義域，即圓錐曲線的范圍，并在定義域內(nèi)求值域。例12．（2007陜西卷，文22）已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.(Ⅰ)求橢圓C的方程。(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.分析：要求三角形的面積，需要由斜截式寫出直線的方程，解方程組求弦長和頂點到直線的距離，但用斜截式寫方程時要注意其斜率是否存在，不定則需討論。解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為．（Ⅱ）設，．（1）當軸時，．（2）當與軸不垂直時，設直線的方程為．由已知，得．把代入橢圓方程，整理得，．．當且僅當，即時等號成立．當時，綜上所述．當最大時，面積取最大值．評注：在研究直線與圓錐曲線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在。一般要分情況討論。由位置關系引發(fā)的討論例13．（2008廣東省深圳中學）已知方程 （1）當時，求方程的各個實根；（2）若方程 均在直線的同側，求實數(shù)的取值范圍。分析：本題通過解方程組研究曲線的交點，交點均在直線的同側，可能在直線的左側，也可能是直線的右側，結合函數(shù)的圖象，把問題轉(zhuǎn)化為特殊點滿足的不等式組解答。解：（1）當時，解得（2）函數(shù)的圖象相交于兩點（2，2），（—2，—2）函數(shù)的圖象相交于兩點（1，1），（—1，—1）①當時，點的直線的異側②當時，要使與的兩個交點在同直線的右側滿足；當時，要使與的兩個交點在同直線的左側需滿足所以滿足條件的的取值范圍是（評注：本題綜合考查方程與函數(shù)的數(shù)學思想、分類討論的數(shù)學思想20090105，數(shù)形結合的思想和轉(zhuǎn)化的思想。結合圖形以位置關系為界進行分類討論。從特殊點入手，把問題進行巧妙地轉(zhuǎn)化。例14．從6種小麥品種中選出4種，分別種植在不同土質(zhì)的4塊土地上進行試驗，已知1號，2號小麥品種不能在試驗田甲這塊地上種植，則不同的種植方法有（ ）分析：由于本題中有特殊的元素和多余的元素，所以需要根據(jù)特殊元素有沒有入選進行分類。解：分三類：（1）不選1號，2號小麥品種，有種選法； （2）1號，2號小麥品種只選1種，有種不同的選法；（3）1號，2號小麥品種都選，有種選法。綜上，共有240種選法。答案：240評注：在排列組合中，常常遇到不同的情況，需要根據(jù)實際進行恰當?shù)胤诸悾诸悤r要做到不重不漏。例5．已知，求的值解析：已知，但不知角所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上；應根據(jù)的值來確定角所在的象限或終邊落在哪個坐標軸上，然后分不同的情況來求的值。（1）當，即（此時角的終邊在軸上）時，（2）當，為第一或第三象限角若角在第三象限，則若角在第三象限，則（3）當，為第二或第四象限角若角在第二象限，則若角在第四象限，則綜上所述，當角在第一象限、軸的正方向及第四象限角時，當角在第二象限、軸的負方向及第三象限角時，概率中的分類整合例15．（2008南通四縣市）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為．（1）求直線與圓相切的概率；（2）將,5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率．分析：先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為會發(fā)生的所有情況有36個基本事件，然后再把直線與圓相切的條件寫出，從中查出滿足條件的基本事件。而圍成等腰三角形需要判斷誰是底，誰是腰，需要根據(jù)的不同取值進行討論，在討論時可以以一個為主，一個為輔進行分類。解：（1）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為,事件總數(shù)為66=36．∵直線與圓相切的充要條件是即：，由于∴滿足條件的情況只有；或兩種情況． ∴直線與圓相切的概率是 （2）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數(shù)分別記為,事件總數(shù)為66=36．∵三角形的一邊長為5∴當時， 1種 當時， 1種 當時， 2種 當時， 2種 當時， 6種 當a=6時， 2種 故滿足條件的不同情況共有14種答：三條線段能圍成不同的等腰三角形的概率為． 評注：本題中由三角形的形狀引發(fā)的對字母的不同取值討論，分類時要按一定的次序進行，做到不重不漏。例16．（2008福建卷，20）某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，，科目A每次考試成績合格的概率均為，.（Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率；（Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學期望E.分析：在這項考試過程中，此人參加考試的次數(shù)為，會出現(xiàn)多種情況， 取2時，說明他一次性通過，順利拿到畢業(yè)證，取3時，說明他需要補考一次，分兩種情況，取4時，說明他需要補考兩門，分別計算求出。解:設“科目A第一次考試合格”為事件A，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B，“科目B補考合格”為事件B.(Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為A1B1,注意到A1與B1相互獨立，則.答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為.(Ⅱ)由已知得，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得故答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學期望為.評注：在求互斥事件的概率和相互獨立事件的概率和隨機變量的分布列時，常常要根據(jù)實際情況分多種不同的情況進行分類討論。本小題主要考查概率的基本知識與分類思想,考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.數(shù)列中的分類整合例17．（2007上海卷，理20）若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。（1）已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，試寫出的每一項（2）已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構成首項為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當為何值時，取到最大值？最大值為多少？（3）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和分析：本題要正確理解“對稱數(shù)列”的定義，并根據(jù)定義寫出數(shù)列，求數(shù)列的前項和為時，可以按等差數(shù)列的求和公式求出，即把轉(zhuǎn)化為求出。（3）中的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項，可以有正序、倒序以及中間是一項還是兩項等四種不同的情況，只需求出其中一種情況的前2008項和即可。解：（1）設的公差為，則，解得 ， 數(shù)列為． （2） ， ， 當時，取得最大值． 的最大值為626． （3）所有可能的“對稱數(shù)列”是： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 對于①，當時，． 當時， ． 對于②，當時，． 當時，．對于③，當時，． 當時，． 對于④，當時，． 當時，．評注：本題的關鍵是正確理解“對稱數(shù)列”的定義，并在此基礎上把“對稱數(shù)列”的有關問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和求出。注意考慮問題要全面，分類做到不重不漏。1預測題（1）函數(shù)在上有最大值，則實數(shù)的取值范圍為 分析：此函數(shù)的類型不確定，需要分類討論，可以用導數(shù)法求函數(shù)的最值，也可以用配方法求二次函數(shù)的最值。解法一、當時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。當時，函數(shù)，其對稱軸為當時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。當時，當即時，在上為單調(diào)增函數(shù)，最大值為，滿足題意。綜上：當時，函數(shù)在上有最大值。解法二、由得，要使函數(shù)在上有最大值，需使在上為單調(diào)增函數(shù)，由，當時成立，當，得，因為在上的最大值為，所以。 綜上：當時，函數(shù)在上有最大值。答案：評注：在函數(shù)類型不確定時要分類討論最后整和答案。（2）．（2008福建德化一中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當時, (其中e是自然界對數(shù)的底, )（Ⅰ） 求的解析式。（Ⅱ）設求證：當，時，；（Ⅲ）是否存在負數(shù)，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由。分析：由函數(shù)的奇偶性的定義求得函數(shù)的解析式，(2)中要證明不等式在時恒成立，只需證明的最小值大于的最大值，可以通過研究函數(shù)的單調(diào)性和極值求得，（3）為存在性命題，可以先假設存在，然后通過求導在區(qū)間內(nèi)研究最值。由于中含有參數(shù)，而，那么可以根據(jù)與的大小關系進行分類比較。解：（Ⅰ）設，則，所以又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 故函數(shù)的解析式為 （Ⅱ）證明：當且時，設 因為，所以當時，此時單調(diào)遞減；當時，此時單調(diào)遞增，所以 又因為，所以當時，此時單調(diào)遞減，所以所以當時，即 （Ⅲ）解：假設存在負數(shù)，使得當時，有最小值是3，則①當，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）②當時，則當時，此時函數(shù)是減函數(shù)；當時，此時函數(shù)是增函數(shù)．所以，解得滿足題意。綜上可知，存在負數(shù)，使得當時，有最小值３評注：本題在導函數(shù)的正負判斷上出現(xiàn)分歧，需要對的不同取值進行分