【正文】 可以證明不等式mn與不等式[f(x)mg(x)][f(x)ng(x)]0等價。例10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______.【巧解】 數(shù)形結(jié)合法由數(shù)軸上點的意義知，上述不等式的意義是數(shù)軸上的點x到2的距離不小于到原點的距離。由圖形，易知，x≥1。[答案] {x|x≥1}例11已知c0，不等式x+|x2c|1的解集是R，求c的取值范圍?！厩山狻康葍r轉(zhuǎn)化法要使原不等式的解集為R，只需不等式中不含x即可，故有 xx+2c1 ∴ c。[答案] c注：這里將|x2c|中去絕對值的討論簡化為符合題意的一種，顯然簡捷、精彩！例12已知f(x)=(xa)(xb)2 (ab),方程 f(x)=0的兩實根為m,nmba2xOn(mn),試確定a,b,m,n的大小關(guān)系?！厩山狻繑?shù)形結(jié)合法令g(x)= (xa)(xb),則 f(x)=g(x)2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的兩根m,n可看成直線y=2與y=g(x)交點的橫坐標(biāo)，畫出f(x),g(x)的圖象，由圖象容易得到mabn.[答案] mabn.例13 若0abcd,且a2+d2=b2+c2,求證：a+db+c.【巧解】綜合法由0abcd,得dacb,∴(da)2(bc)2,又(a+d)2+(ad)2=(b+c)2+(bc)2,兩式相減，得(a+d)2(b+c)2, ∴ a+db+c.[答案] 見證明過程注：本題的幾何意義是：在RtΔABC與RtΔABD中，其中AB為公共的斜邊。若BCBD,則ACAD.例14 求征：1+++…+2 (n≥2,n∈N*).【巧解】逆用公式法、放縮法逆用數(shù)列的前n項和的方法來求。設(shè)想右端2是某數(shù)列{an}的前n項和，即令Sn=2,則n≥2時，an=SnSn1=(2)(2)==, 這樣問題就轉(zhuǎn)化為,而這顯然?！嗝}成立。 [答案] 見證明過程例15 已知abc,求證：++0.【巧解】放縮法∵0abac,∴由倒數(shù)法則（難點巧學(xué)）得,而0,∴ +, ∴原式得證。[答案] 見證明過程例16 已知a,b,c均為正數(shù)，求證：3( )≥2( )。【巧解】比較法、基本不等式法∵ 左邊右邊=2+c3=++c3≥33=0，∴原式成立。[答案] 見證明過程例17 已知1a1, 1b1,求證：+≥.【巧解】構(gòu)造法、綜合法由無窮等比數(shù)列（|q|1）所有項和公式S=，得 =1+a2+a4+a6+…。 =1+b2+b4+b6+…,∴ +=2+( a2+b2)+( a4+b4)+( a6+b6)+…≥2+2ab+2a2b2+2a3b3+…=.QTP(1,1)oyx[答案] 見證明過程例18 已知a+b=1(a,b∈R)，求證：(a+1)2+(b+1)2≥?！厩山狻繑?shù)形結(jié)合法。 顯然Q(a,b)是直線L：x+y=1上的點，(a+1)2+(b+1)2表示點Q與P(1,1)的距離的平方。如圖，設(shè)PT⊥直線L于T，所以|PQ|2≥|PT|2，又|PT|2=()2=，∴|PQ|2≥∴原式成立。[答案] 見證明過程例19 若0≤θ≤，求證：cos(sinθ)sin(cosθ).【巧解】單調(diào)性法 、放縮法∵cosθ+sinθ=sin(θ+)≤，∴cosθ sinθ,又∵0≤θ≤，∴cosθ∈[0,1], sinθ∈[1,]，∴ sin(cosθ)sin( sinθ)= cos(sinθ).(單調(diào)性)[答案] 見證明過程例20 已知f(x)=，若ab0,c=2,求證：f(a)+f(c)1.【巧解】基本不等式法、放縮法可以證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)?！?c=2≥2=2=0,∴ c≥，∴f(c)≥f()，而f(a)+f(c)≥f(a)+f()=+=++=1.[答案] 見證明過程例21 若關(guān)于x的不等式x2+2ax2b+1≤0與不等式x2+(a3)x+b21≥0有相同的非空解集，求a,b的值?！厩山狻康葍r轉(zhuǎn)化法,數(shù)形結(jié)合法將y= x2+2ax2b+1與 y=x2+(a3)x+b21兩式相加，得 2y=(3a3)x+b22b,此即為直線MN的方程（其中M、N分別為兩函數(shù)圖象與x軸的兩個交點）；另一方面，由題意知，MN即x軸，其方程為y=0,比較兩式的系數(shù)得，3a3=0,b22b=0,從而易得a=1,b=0或2，特別地當(dāng)a=1,b=0時，兩不等式的解集為{1}，也符合題意。[答案] a=1,b=0或2。例22設(shè)定義在[2,2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1m)f(m),求實數(shù)m的取值范圍?！厩山狻康葍r轉(zhuǎn)化法解：∵f(x) 是偶函數(shù)，∴f(x)=f(x)=f(|x|), ∴ f(1m)f(m)等價于f(|1m|)f(|m|)又當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)單調(diào)遞減，∴ |1m||m|且2≤1m≤2且2≤m≤2解得 1≤m。[答案] 1≤m.注：本題應(yīng)用了偶函數(shù)的一個簡單的性質(zhì)，從而避免了一場“大規(guī)?！钡挠懻?，值得關(guān)注。例23解不等式：3.【巧解】構(gòu)造法，定比分點法把、、3看成是數(shù)軸上的三點A、P、B，由定比分點公式知P分所成的比t0,即0,化簡得 x(3x+5)0,∴ x∈(∞,)∪(0,+∞)。[答案] x∈(∞,)∪(0,+∞)。例24 已知x,y,z均是正數(shù)，且x+y+z=1,求證：++≤?！厩山狻颗錅惙ā⑸齼绶ú坏仁絻蛇吪渖?，再運用均值不等式升冪。（你知道為什么要配 嗎？）++≤ + + =≤=2， ∴原式成立。[答案] 見證明過程例25 設(shè)a,b,c為ΔABC的三條邊，求證：a2+b2+c22(ab+bc+ca).【巧解】綜合法∵a+bc,b+ca,c+ab,∴三式兩邊分別乘以c,a,b得ac+bcc2,ab+aca2,bc+abb2,三式相加并整理得, a2+b2+c22(ab+bc+ca).[答案] 見證明過程例26 解不等式 + x35x0.【巧解】構(gòu)造法,綜合法原不等式等價于()3+5()x3+5x,構(gòu)造函數(shù)f(x)= x3+5x,則原不等式即為f()f(x)，又f(x)在R上是增函數(shù)，∴x,解此不等式得 x2或1x1。[答案] {x| x2或1x1}.例27已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),x∈[1,1],求證：|f(x)|的最大值M≥.【巧解】反證法假設(shè)M,則|f(x)|恒成立，∴f(x),即x2+ax+b,令x=0,1,1,分別代入上式，得 b①，1a+b②, 1+a+b③,由②+③得b，這與①式矛盾，故假設(shè)不成立，∴原命題成立。[答案] 見證明過程例28 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且方程f(x)=0的兩根xx2都在(0,1)內(nèi)，求證:f(0)f(1)≤.【巧解】待定系數(shù)法、基本不等式法因方程有兩個實根為x1,x2,故可設(shè)f(x)=a(xx1)(xx2),于是f(0)f(1)=ax1x2a(1x1)(1x2)=a2x1(1x1)x2(1x2)≤a2≤。[答案] 見證明過程例29 若aa…、a11成等差數(shù)列，且a12+a112≤100，求S=a1+a2+…+a11的最大值和最小值?！厩山狻炕静坏仁椒ā⒕C合法(a1+a11)2=a12+2a1a11+a112≤2(a12+a112)≤200,∴|a1+a11|≤10，又aa…、a11成等差數(shù)列,∴S=a1+a2+…+a11=(a1+a11),∴ Smax=55，Smin=55.[答案] Smax=55，Smin=55.例30若0≤x,y≤1，求證：+++≥2 等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時成立。Gy=()xFy=()xEy=()xPy=()xDy=()xCy=()xBy=()xAy=()x1yy=()xyy=()x1xy=()xxy=()xH【巧解】構(gòu)造法如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，BH=x,AE=y,則HC=1x,BE=1y,于是AP=,BP=,DP=, PC=,由AP+PC≥AC，BP+DP≥BD，而AC=BD=。看,此時結(jié)論是不是顯然的了？[答案] 見證明過程例31 設(shè)m是方程ax2+bx+c=0的實根，且abc0,求證：|m|1.【巧解】綜合法設(shè)方程的另一根為n,則由韋達定理得m+n= 0,mn=0,∴ m,n同為負(fù)數(shù)，∴ 1|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|1,|n|1.∴結(jié)論成立。[答案] 見證明過程例32 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a0),設(shè)方程f(x)=x的兩實根為x1和x2，如果x12x24,且函數(shù)f(x)的對稱軸為x=x0,求證：x01.a(,)b【巧解】 數(shù)形結(jié)合法設(shè)g(x)=f(x)x=ax2+(b1)x+1,由題意得,即,目標(biāo)是證明1,即（不含邊界），而表示區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與坐標(biāo)原點連線的斜率，易見2,故命題成立。[答案] 見證明過程例33 已知≤ak≤1(k∈N+),求證：a1a2…an+(1a1)(1a2)…(1an)≥.【巧解】增量法、換元法設(shè)令ak=+bk(0≤bk≤)，則原式左邊=(+b1)(+b2)…(+bn)+( b1)( b2)…( bn)=[()n+M]+[()n+N]=()n1+M+N≥()n1=右邊，∴原式成立。[答案] 見證明過程（注：多項式M和N正負(fù)抵消部分項后，所余部分和必為非負(fù)數(shù)。）例34 記橢圓（ab0），A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于P(x0,0),證明： x0.【巧解】數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法記Q(x,y)是橢圓上的任一點，則 |PQ|2=(xx0)2+y2=(xx0)2+b2(1),x∈[a,a],得二次函數(shù)，f(x)= (xx0)2+b2x02且由|PA|=|PB|,知 f(xA)=f(xB),即f(x)在[a,a]上不單調(diào)，由二次函數(shù)最小值的唯一性知 –ax0a,變形即得所求。[答案] 見證明過程例35 已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx++c=0,f(x)在[1,1]上的最大值是2，最小值是。證明：a≠0且||2. 【巧解】反證法假設(shè)a=0或||≥2。（1）若a=0,則由a+c=0,得c=0,∴f(x)=≠0，∴f(x)在[1,1]是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。f(x)min=|b|,于是|b|=2,|b|= ,由此得矛盾；（2）若||≥2,則||≥1且a≠0，因此區(qū)間[1,1]在拋物線f(x)=ax2+bxa的對稱軸x=的左側(cè)或右側(cè)，∴函數(shù)f(x)在[1,1]上是單調(diào)函數(shù)，從而f(x)max=|b|。f(x)=|b|,由（1）知這是不可能的。綜合（1）（2）知，命題成立。[答案] 見證明過程例36 是否存在常數(shù)C，使得不等式+≤C≤+，對任意正數(shù)x,y恒成立？試證明你的結(jié)論?！厩山狻糠治龇顇=y=1，得≤C≤，所以C=。下面給出證明：(1) 先證明：+≤，因為x0,y0,要證： + ≤，只要證 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即證：x2+yy≥2xy,這顯然成立，∴ +≤；（2）再證：+≥，只需證：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),即證：x2+y2≥2xy,這顯然成立，∴+≥。綜合（1）、（2）得，存在常數(shù)C=，使對于任何正數(shù)x,y都有+≤≤+成立。[答案] 存在常數(shù)C=,證明略.