高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習-題型歸納-解題方法整理-資料下載頁
2025-07-23 11:20本頁面
【正文】 ，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.4）構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵危箚栴}得以解決.（6）歸納猜想證明法數(shù)學(xué)歸納法（7）已知數(shù)列前項之積Tn，一般可求Tn1，則an＝（注意：不能忘記討論）.如：數(shù)列中，對所有的都有，則__________.四、典型例題分析【題型5】 構(gòu)造法：1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列例5 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，對于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項.解：， ∴，∵，∴. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.∴小結(jié)與拓展：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然，對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.【題型6】 構(gòu)造法：2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式。例6 設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，（n∈N*），求數(shù)列的通項公式an.解：由題設(shè)得.∵，∴.∴【題型7】 構(gòu)造法：3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡單方法.例7 數(shù)列中，前n項的和，求.解： ，∴∴【題型8】 構(gòu)造法：4）構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以解決.例8 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，，∴【題型9】 歸納猜想證明例9 設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式 解：(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝ (Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝ 由①可得S3＝ 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論(i)n＝1時已知結(jié)論成立 (ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝，當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時結(jié)論也成立 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，……17
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