高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)-題型歸納-解題方法整理-閱讀頁
2025-08-07 11:20本頁面
【正文】 ，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。（2）公式法：在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為： (數(shù)列的前n項(xiàng)的和為).（3）周期數(shù)列由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）?！绢}型1】 周期數(shù)列例1 若數(shù)列滿足，若，則=____。小結(jié)與拓展：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).【題型3】 遞推公式為，求通項(xiàng)例3 已知數(shù)列滿足，求。解法1：設(shè)，即有，對比，得，于是得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有。所以，即，所以。二是用做差法直接構(gòu)造，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。例6 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（n∈N*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得.∵，∴.∴【題型7】 構(gòu)造法：3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡單方法.例7 數(shù)列中，前n項(xiàng)的和，求.解： ，∴∴【題型8】 構(gòu)造法：4）構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵危箚栴}得以解決.例8 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，∴【題型9】 歸納猜想證明例9 設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項(xiàng)公式 解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝ (Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝ 由①可得S3＝ 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立 (ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1時(shí)，a1＝＝，所以｛an｝的通項(xiàng)公式an＝，n＝1，2，3，……17
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