高中數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)-題型歸納-解題方法整理(文件)
【正文】 若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.3）構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)單方法.4）構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過(guò)取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問(wèn)題得以解決.（6）歸納猜想證明法數(shù)學(xué)歸納法（7）已知數(shù)列前項(xiàng)之積Tn，一般可求Tn1，則an＝（注意：不能忘記討論）.如：數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則__________.四、典型例題分析【題型5】 構(gòu)造法：1）構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列例5 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng).解：， ∴，∵，∴. 即是以2為公差的等差數(shù)列，且.∴小結(jié)與拓展：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.【題型6】 構(gòu)造法：2）構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式。小結(jié)與拓展：此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比較系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，小結(jié)與拓展：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).【題型4】 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，），求通項(xiàng)例4 在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。答案：。（2）由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，這就是疊（迭）代法的基本模式。 數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列{an}的 與 之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個(gè)公式an＝f(n)來(lái)表示，我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．（1）（1）定義法與觀察法（合情推理：不完全歸納法）：直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目；有的數(shù)列可以根據(jù)前幾項(xiàng)觀察出通項(xiàng)公式。（根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消求和）（2）（5）錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和?！绢}型3】 裂項(xiàng)相消法例3 （2010年?yáng)|城二模19改編）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列滿足，求。5）等比數(shù)列的性質(zhì)：若數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列及也為等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為、公比分別為、。（根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化，因式相消 求和）常見(jiàn)裂項(xiàng)公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常見(jiàn)放縮公式
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