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正文內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)解題思路與技巧(參考版)

2025-01-21 08:16本頁面
  

【正文】 3加工某一機械零件,需要經(jīng)過兩個工序,完成第一個工序有3種不同的方。 (C)60176。3如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,斜邊AB=a,側(cè)棱AA1=2a,點D是AA1的中點,那么截面DBC與底面ABC所成二面角的大小是( B ) (A)30176。已知函數(shù)y=,那么( A ) (A)當(dāng)x∈(-∞,1)或x∈(1,+∞)時,函數(shù)單調(diào)遞減 (B)當(dāng)x∈(-∞,1)∪(1,+∞)時,函數(shù)單調(diào)遞增 (C)當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)時,函數(shù)單調(diào)遞減 (D)當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞)時,函數(shù)單調(diào)遞增 點評:先對函數(shù)式進行變形,再運用有關(guān)大小比較的知識解題。其中成立的是( D )。2 點評:主要考核象和原象的概念。2已知集合A={整數(shù)},B={非負整數(shù)},f是從集合A到集合B的映射,且f:x y=x2(x∈A,y∈B),那么在f的作用下象是4的原象是( D ) (A)16 (B)177。2已知α-β=,tgα=3m, tgβ=3-m, 則m的值是( D )。 (A)T1T9 (B)T1=T9 (C)T1T9 (D)大小不定 點評:T1=1,用等比數(shù)列前n項和公式求T92設(shè)集合A=,集合B={0},則下列關(guān)系中正確的是( C ) (A)A=B (B)AB (C)AB (D)AB 點評:主要考核空集的概念、以及集合與集合的關(guān)系。 點評:運用平行和垂直的有關(guān)知識。 (C)45176。 (A)90176。 (A)4項 (B)6項 (C)25項 (D)26項 點評:借助二項式展開的通項公式來分析。 (A)f (x)≥3 (x∈[1, 2]) (B)f (x)≤4 (x∈[1, 2]) (C)f (x)在x∈[1, 2]上單調(diào)遞增 (D)f (x)在x∈[1, 2]上是減函數(shù) 點評:通過最值定理、二次函數(shù)的對稱軸與最值等求出p 、q,再行分析。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 點評:運用等比、差中項概念,通分求解。 點評:旋轉(zhuǎn)與輻角主值的概念。 (C)150176。 (A)450176。, arg(z2)=300176。 (A)n//α (B)n//α或nα (C)nα或n不平行于α (D)nα 點評:畫草圖,運用線面垂直的有關(guān)知識。 (A)x= (B)x= (C)x= (D)x= 點評:先降次,后找最值點。 (A)ab (B)ab(ab)0 (C)ab0 (D)ab 點評:理解條件語句,用不等式的性質(zhì)解題。 (A)周期為2π的奇函數(shù) (B)周期為π的偶函數(shù) (C)周期為π的奇函數(shù) (D)周期為2π的偶函數(shù)點評:用倍角公式降次,判斷周期性,根據(jù)和差化積的結(jié)果來求奇偶性。 (A)a1 (B)a0且a≠1 (C)0a1 (D)a∈ 點評:分類討論,考慮對稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系,運用特殊值進行驗證。(A)24x16y+15=0 (B)24x16y15=0 (C)24x+16y+15=0 (D)24x+16y15=0 點評:通過兩線垂直與斜率的關(guān)系,以及中點坐標公式。 (A)垂直 (B)平行 (C) 異面 (D)相交但不垂直 點評:理解公垂線的概念,通過平行作圖可知。 (A)mn (B)m≥n (C)mn (D)m≤n 點評:由題意可知m≤、 n=(b1) 2 +。 (A)(1, 1) (B)(0, 0)和(1, 1) (C)(1, 1)和(0, 0) (D)(1, 1)和(0, 0) 點評:從定義域、值域、特殊值等角度加以驗證。 (A)關(guān)于點(2, 3)對稱 (B)關(guān)于點(2, 3)對稱 (C)關(guān)于直線y=3對稱 (D)關(guān)于直線x=2對稱點評:主要考核反函數(shù)的概念與對稱性的知識。 (A)y=arccosx是偶函數(shù) (B)arcsin(sinx)=x, x∈R (C)sin(arcsin)= (D)若1x0, 則arcsinx0 點評:反三角函數(shù)的概念、公式的理解與運用。 (A)1:1 (B)1:2 (C)1:8 (D)1:7點評:通過平面展開圖,達到“降維”之目的,促使立體圖形平面化,再在相似等腰三角形中,求得小、大三角形的高的比為1:2,由此可見,小的與全體體積之比為1:8,從而得出小、大兩部分之比(特別提醒:小、大之比并非高之比的立方)。 (A) (B) (C) (D)點評:通過觀察可知a1(如a1,則數(shù)值為負),且求和的各項成等比,因此可以運用無窮遞縮等比數(shù)列求和公式(其中q=a,a1=4)。 (A)1243 (B)3421 (C)4123 (D)3412點評:先寫出以1開頭、2開頭、3開頭的各6個數(shù),再按由小到大順序排列。 (A) (B)()n1 (C)()n (D) 點評:先代入求得a3的值,再對照給出的選擇支,用驗證法即可得出結(jié)論。 (A)(a, g(a)) (B)(a, g(a)) (C)(a, g(a)) (D)(a, g(a)) 點評:本題從函數(shù)的奇偶性入手,先看括號內(nèi)函數(shù)的奇偶性為奇函數(shù),得到該復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù),再根據(jù)g(x)=g(x),取x=a 和x=a加以驗證。 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)不充分不必要點評:由a+b0可知,a b ,b a, 又 y = f ( x )在R上為增函數(shù),故f ( a ) f ( b ) ,f ( b ) f ( a ),反過來,由增函數(shù)的概念也可推出,a+b(a)+(b)。 (A)16個 (B)15個 (C)7個 (D)8個 點評:著重理解“∈”的意義,對M中元素的情況進行討論,一定要強調(diào)如果“a在M中,那么(6a)也在M中”這一特點,分別討論“一個、兩個、三個、四個、五個元素”等幾種情況,得出相應(yīng)結(jié)論。(三)數(shù)學(xué)經(jīng)典選擇題點評 同時滿足① M {1, 2, 3, 4, 5}。 圖象法在解答選擇題的過程中,可先根椐題意,作出草圖,然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì),綜合圖象的特征,得出結(jié)論。 特殊值法有些選擇題,用常規(guī)方法直接求解比較困難,若根據(jù)答案中所提供的信息,選擇某些特殊情況進行分析,或選擇某些特殊值進行計算,或?qū)⒆帜竻?shù)換成具體數(shù)值代入,把一般形式變?yōu)樘厥庑问?,再進行判斷往往十分簡單??赏ㄟ^篩除一些較易判定的的、不合題意的結(jié)論,以縮小選擇的范圍,再從其余的結(jié)論中求得正確的答案。這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā),利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則,通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评怼⒑侠淼尿炞C得出正確的結(jié)論,從而確定選擇支的方法。有關(guān)選擇題的解法的研究,可謂是仁者見仁,智者見智。反復(fù)檢查,認真核對 在審題、析題的過程中,由于思考問題不全面,往往會導(dǎo)致“失根”、“增根”等錯誤,因而,反復(fù)地檢查,認真地進行核對,也是解選擇題必不可少的步驟之一。由于選擇題具有相近、相關(guān)的特點,有時“真作假時假亦真”,對于一些似是而非的選項,我們可以結(jié)合題目,將選項逐一比較,用一些“虛擬式”的“如果”,加以分析與驗證,從而提高解題的正確率。在認真審題的基礎(chǔ)上,對全題進行反復(fù)的分析和解剖,從而為正確解題尋得路徑。除此而外,審題的過程還是一個解題方法的抉擇過程,開拓的解題思路能使我們心涌如潮,適宜的解題方法則幫助我們事半功倍。凡在題中出現(xiàn)的概念、公式、性質(zhì)等內(nèi)容都是平時理解、記憶、運用的重點,也是我們在解選擇題時首先需要回憶的對象。一般說來, 數(shù)學(xué)選擇題有著特定的解題思路,具體概括如下:仔細審題,吃透題意 審題是正確解題的前題條件,通過審題,可以掌握用于解題的第一手資料——已知條件,弄清題目要求。第四步:斷定原命題的真實性。 第二步:證明所作圖形符合已知條件。 同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。 對于符合同一原理的命題,當(dāng)直接證明有困難時,可以改證和它等效的逆命題,只要它的逆命題正確,這個命題就成立。但是,當(dāng)一個命題條件和結(jié)論都唯一存在,它們所指的概念是同一概念時,這個命題和它的逆命題等效。只有正確地作出反設(shè),合乎邏輯地進行推導(dǎo),才能間接地證出原題。反證法的三個步驟是互相聯(lián)系的。 第三步:存真。由反設(shè)和已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果。假設(shè)命題結(jié)論不成立,即假設(shè)原結(jié)論的反面為真。這里主要研究反證法的邏輯原理、解題步驟和適用范圍。十、反證法與同一法 反證法和同一法是間接證明的兩種方法,在解題中有著廣泛的應(yīng)用。 中學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)形結(jié)合法包含兩個方面的內(nèi)容:一是運用代數(shù)、三角知識,通過對數(shù)量關(guān)系的討論,去處理幾何圖形問題;二是運用幾何知識,通過對圖形性質(zhì)的研究,去解決數(shù)量關(guān)系的問題。在數(shù)學(xué)發(fā)展的進程中,數(shù)和形常常結(jié)合在一起,在內(nèi)容上互相聯(lián)系,在方法上互相滲透,在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。 數(shù)和形這兩個基本概念,是數(shù)學(xué)的兩塊基石。 九、數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合,是研究數(shù)學(xué)的一個基本觀點,對于溝通代數(shù)、三角與幾何的內(nèi)在聯(lián)系,具有重要的指導(dǎo)意義。從總體上說,分類的主要依據(jù)有:分類敘述的定義、定理、公式、法則,具有分類討論位置關(guān)系的幾何圖形,題目中含有某些特殊的或隱含的分類討論條件等。 第三步:在子集A1,A2,…An內(nèi)逐類討論; 第四步:綜合子集內(nèi)的解答,歸納結(jié)論。這種把邏輯分類思想移植到數(shù)學(xué)中來,用以指導(dǎo)解題的方法,通常稱為分類或分域法。八、分類法 分類法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法,對于提高解題能力,發(fā)展思維的縝密性,具有十分重要的意義。觀察依賴于試驗,試驗離不開觀察。 用試驗法處理數(shù)學(xué)問題時,必須從問題的實際情形出發(fā),結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識,恰當(dāng)選擇試驗的對象和范圍;在制定試驗方案時,要全面考慮試驗的各種可能情形,不能有所遺漏;在實施試驗方案時,要講究試驗技巧,充分利用各次試驗所提供的信息,以縮小試驗范圍,減少試驗次數(shù),盡快找出原題的解答。七、試驗法 解答數(shù)學(xué)題,需要多方面的信息。(3) 評價、解釋。(2)推理、演算。對事物對象及諸對象間的關(guān)系進行抽象,并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號和表達式去刻畫事物對象及其關(guān)系。從實際問題的特定關(guān)系和具體要求出發(fā),根據(jù)有關(guān)學(xué)科理論,抓住主要矛盾,考察主要因素和量的關(guān)系。分析問題所及的量的關(guān)系,弄清哪些是常量,哪些是變量,哪些是已知量,哪些是未知量;了解其對象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性,確定問題所及的具體系統(tǒng)。從總體上說,建模的基本手段,是數(shù)學(xué)抽象方法。 利用數(shù)學(xué)模型法解答實際問題(包括數(shù)學(xué)應(yīng)用題),一般要做好三方面的工作:(1) 建模。具體的說,分析法是從題目的等證結(jié)論或需求問題出發(fā),一步一步的探索下去,最后達到題設(shè)的已知條件;綜合法則是從題目的已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達到待證的結(jié)論或需求問題。在數(shù)學(xué)中,又把分析看作從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法,而綜合被看成是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法。從總體上說,解答數(shù)學(xué)題,即需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo),也需要各種具體的方法和技巧進行微觀處理,只有把策略、方法、技巧和諧地結(jié)合起來,創(chuàng)造性地加以運用,才能成功地解決面臨的問題,獲取良好的效果。 利用判別式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法,在探求某些實變數(shù)之間的關(guān)系,研究方程的根和函數(shù)的性質(zhì),證明不等式,以及研究圓錐曲線與直線的關(guān)系等方面,都有著廣泛的應(yīng)用。四、判別式法 實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) ①的判別式△=b24ac具有以下性質(zhì): >0,當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個不相等的實數(shù)根 △ =0,當(dāng)且僅當(dāng)方程①有兩個相等的實數(shù)根; <0,當(dāng)且僅當(dāng)方程②沒有實數(shù)根。 特殊值法的理論根據(jù),是表達式恒等的定義:兩個表達式恒等,是指用字母容許值集內(nèi)的任意值代替表達式中的字母,恒等式左右兩邊的值總是相等的。 比較系數(shù)法的理論根據(jù),是多項式的恒等定理:兩個多項式恒等的充分必要條件是對應(yīng)項系數(shù)相等,即a0xn+a1xn1+ …+an≡b0xn+b1xn1+… +bn 的充分必要條件是 a0=b0, a1=b1,…… an=bn 。 確定待定系數(shù)的值,有兩種常用方法:比較系數(shù)法和特殊值法。三、待定系數(shù)法 按照一定規(guī)律,先寫出問題的解的形式(一般是指一個算式、表達式或方程),其中含有若干尚待確定的未知系數(shù)的值,從而得到問題的解。 消元法是解方程組的基本方法,在推證條件等式和把參數(shù)方程化成普通方程等問題中,也有著重要的應(yīng)用。 換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法,在多項式的因式分解,代數(shù)式的化簡計算,恒等式、條件等式或不等式的證明,方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解,函數(shù)表達式、定義域、值域或最值的推求,以及解析幾何中的坐標替換,普通方程與參數(shù)方程、極坐標方程的互化等問題中,都有著廣泛的應(yīng)用。 例如,用于求解代數(shù)問題的三角代換,在具體設(shè)計時,宜遵循以下原則:(1)全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì);(2)力求減少變量的個數(shù),使問題結(jié)構(gòu)簡單化;(3)便于借助已知三角公式,建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系。 用換元法解題,關(guān)鍵在于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征,選擇能以簡馭繁,化難為易的代換f(x)=y或x=g(t)。你能否清楚地看出這一步驟是否正確的?你能否證
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