【正文】 在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。 A F DB M NE C6. 兩個(gè)互相垂直的正方形如圖所示，M、N在相應(yīng)對角線上，且有EM＝CN，求證：MN不可能垂直CF。4. 求證：拋物線y＝－1上不存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的兩點(diǎn)。2. 已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，a≠c，求證：、不可能成等差數(shù)列。第②問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練。由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線y＝x對稱可以得到，函數(shù)y＝的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像?！咀C明】 ① 設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則x≠x,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有y＝y(tǒng)，即＝，整理得a(x－x)＝x－x∵x≠x ∴ a＝1， 這與已知“a≠1”矛盾， 因此假設(shè)不對，即直線MM不平行于x軸。(88年全國理)。兩種解法，要求對不等式解集的交、并、補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹?！咀ⅰ俊爸辽佟?、“至多”問題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。【解】 設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有：,解得,即－a－1?！痉治觥?三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒有實(shí)根。例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯栴}常用反證法?！咀C明】 假設(shè)AC⊥平面SOB，∵ 直線SO在平面SOB內(nèi)， ∴ AC⊥SO，∵ SO⊥底面圓O， ∴ SO⊥AB，∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立。求證：AC與平面SOB不垂直。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種【簡解】1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個(gè)選擇項(xiàng)逐一成立，導(dǎo)出其中三個(gè)與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a＝－b＝－，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項(xiàng)成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：C－C4－3－6,選D。A. aab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b為異面直線，則_____。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0 ______。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。8. 給定的拋物線y＝2px (p0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點(diǎn)M，使得對于拋物線的任意一條過點(diǎn)M的弦PQ，有＋為定值。6. f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實(shí)數(shù)a的取值范圍。3. 拋物線y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ與x軸兩個(gè)交點(diǎn)距離的最大值為_____A. 5 B. 10 C. 2 D. 34. 過點(diǎn)M(0,1)作直線L，使它與兩已知直線L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線L方程。Ⅲ、鞏固性題組：1. 已知復(fù)數(shù)z滿足|z|≤1，則復(fù)數(shù)z＋2ｉ在復(fù)平面上表示的點(diǎn)的軌跡是________________。所以cosα＝－cosβ。則∠SFO＝β，∠DEB＝α?！痉治觥恳C明cosα=cosβ，考慮求出α、β的余弦，則在α和β所在的三角形中利用有關(guān)定理求解。在此解法中，利用了直線上兩點(diǎn)之間的距離公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的長。本題的第一問，另一種思路是設(shè)直線斜率k，解出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)再求：設(shè)直線OP的斜率k，則OQ的斜率為－，由橢圓與直線OP、OQ相交于PQ兩點(diǎn)有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20。本題還要求能夠熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M點(diǎn)的坐標(biāo)后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ），這是求點(diǎn)M軌跡方程“消參法”的關(guān)鍵一步。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以有()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2,即所求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1。k＝＝－，整理得到：cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。k得出一個(gè)結(jié)論，再計(jì)算|OP|＋|OQ|，并運(yùn)用“參數(shù)法”求中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消參而得。k＝－ ， ①．求證：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。例2. 橢圓＋＝1上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)。本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進(jìn)行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥?！窘狻坑蒩＋b＋c＝1，設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥所以a＋b＋c的最小值是。Ⅱ、示范性題組：例1. 實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。時(shí)，即(4,5)或(0,1)；（文）已知曲線為橢圓，a＝1，c＝，所以e＝－；3小題：設(shè)z＝bｉ，則C＝1－b＋2ｉ，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于x軸向右的射線；4小題：設(shè)三條側(cè)棱x、y、z，則xy＝y(tǒng)z＝xz＝3,所以xyz＝24,體積為4。(填“增”或“減”)6. 橢圓＋＝1上的點(diǎn)到直線x＋2y－＝0的最大距離是_____。4. 三棱錐的三個(gè)側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是3，則其體積為______。 （文）若k－1，則圓錐曲線x－ky＝1的離心率是_________。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)2＝3＝51，則2x、3y、5z從小到大排列是________________。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。 ③.求證：f(n)n (n1且n∈N)六、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。 ①．求a和a； ②.猜測a，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜測。 （85年廣東高考）6. 數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式a＝ (n∈N)，設(shè)f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測出f(n)的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明?！璫os3. n∈N，試比較2與(n＋1)的大小，并用證明你的結(jié)論。Ⅲ、鞏固性題組：1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：6＋1 (n∈N)能被7整除。【另解】 可證a －a＝ a－ a對于任意n≥2都成立：當(dāng)n≥2時(shí)，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；從而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a －a＝ a－ a，從而{a}是等差數(shù)列。在證明過程中a的得出是本題解答的關(guān)鍵，利用了已知的等式S＝、數(shù)列中通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系a＝S－S建立含a的方程，代入假設(shè)成立的式子a＝a＋(k－1)d解出來a。綜上所述，對所有的自然數(shù)n，都有a＝a＋(n－1)d，從而{a}是等差數(shù)列。當(dāng)n＝2時(shí)，a＋(2－1)d＝a＋d＝a， ∴當(dāng)n＝2時(shí)猜測正確。命題與n有關(guān)，考慮是否可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。例3. 設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，若對于所有的自然數(shù)n，都有S＝，證明{a}是等差數(shù)列。解法如下：由n可得，a1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由n＋可得，a1＋2＋3＋…＋n＋n＝n(n＋1)＋n＝(n＋2n)(n＋1)。本題另一種解題思路是直接采用放縮法進(jìn)行證明。本題中分別將縮小成(k＋1)、將放大成(k＋)的兩步放縮是證n＝k＋1時(shí)不等式成立的關(guān)鍵。綜上所述，對所有的n∈N，不等式n(n＋1)a(n＋1)恒成立?！窘狻?當(dāng)n＝1時(shí)，a＝，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ， ∴ n＝1時(shí)不等式成立?！痉治觥颗c自然數(shù)n有關(guān)，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明?？梢哉f，用試值猜想證明三步解題，具有一般性?！玖斫狻?用裂項(xiàng)相消法求和：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝。 假如猜想后不用數(shù)學(xué)歸納法證明，結(jié)論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴(yán)密。這樣證題過程中簡潔一些，有效地確定了證題的方向。綜上所述，等式對任何n∈N都成立。 （93年全國理）【解】 計(jì)算得S＝，S＝，S＝，S＝ ， 猜測S＝ (n∈N)。Ⅱ、示范性題組：例1. 已知數(shù)列，得，…，…。【簡解】1小題：n＝k時(shí)，左端的代數(shù)式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時(shí)，左端的代數(shù)式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為，選B；2小題：（2－1）－（2－1）＝2，選C；3小題：原命題與逆否命題等價(jià)，若n＝k＋1時(shí)命題不成立，則n＝k命題不成立，選C。 A. 3n－2 B. n C. 3 D. 4n－35. 用數(shù)學(xué)歸納法證明3＋5 (n∈N)能被14整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)對于式子3＋5應(yīng)變形為_______________________?，F(xiàn)已知當(dāng)n＝5時(shí)該命題不成立，那么可推得______。 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋n (n1)時(shí)，由n＝k (k1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)是_____。1運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時(shí)命題成立，再證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。cos∠MFF＝，求橢圓方程。9. 已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，求證數(shù)列也是等差數(shù)列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。)，則復(fù)數(shù)的輻角主值是__________。7. Z＝4(sin140176。x5. 已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是_____。x C. y＝177。 A. y＝177。3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，則下列關(guān)系正確的是_____。 C. 90176。A. 45176。Ⅲ、鞏固性題組：1． 函數(shù)y＝f(x)＝a＋k的圖像過點(diǎn)(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(4,0)，則f(x)的表達(dá)式是___。在建立方程組時(shí)，巧妙地運(yùn)用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義?！咀ⅰ壳笄€的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件，根據(jù)條件列出動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)行化簡即可得到?！窘狻吭O(shè)A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為2，下頂點(diǎn)A到準(zhǔn)線距離為y。【分析】運(yùn)動(dòng)的橢圓過定點(diǎn)M，準(zhǔn)線固定為x軸，所以M到準(zhǔn)線距離為2。在Rt△B’BE中，