【正文】 通過以下探索途徑來(lái)提高解題能力： （ 1） 研究問題的條件時(shí)，在需要與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。 第四階段是 檢查與總結(jié) 。 七、間接化策略 所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場(chǎng)合甚至找不到解題依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論（或問題）的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原題。 （一）、圖表直觀： 有些數(shù)學(xué)題， 內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。 因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的一條重要途徑。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。 一、 熟悉化策略 所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。這四個(gè)階段思維過程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概 括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。從整體的角度看待問題。 解法 1 如圖 4－ 2－ 3，設(shè)弦 AB 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ),( yxM ，連接 OMOP、 ， 則 ABOM? ，在 OMP? 中，由兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理有 .1 6 9)12()5( 2222 ?????? yxyx 整理，得 .012522 ???? yxyx 其中 .33 ??? x 分析 2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的 曲線類型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡(jiǎn)捷的特點(diǎn)。 顯然其中以原點(diǎn)到直線 l 的距離最短。 例 3 已知 1??yx ，求 22 yx ? 的最小值。 分析 2 由于已知條件 具有 xzzyyx ??? , 輪換對(duì)稱特點(diǎn)，此特點(diǎn)的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來(lái)便利。 證法 5 （如圖 421）因?yàn)橹本€ 0: ??byaxl 經(jīng)過 圓 122 ??yx 的圓心 O，所以 圓上任意一點(diǎn) ),( yxM 到直線 0??byax 的距離都小于或等于圓半徑 1， 即 .11||||22 ????????? byaxbyaxba byaxd 簡(jiǎn)評(píng) 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。從而證明原結(jié)論正確。 在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡(jiǎn)捷解法。 于是 ,)23()7( 22 ?? b 從而解得 矛盾。 圖 3－ 2－ 3 M N H 注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。 錯(cuò)誤解法 依題意，可知曲線 C? 是拋物線， 在 ? 內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .0),0,2( ?? ppF y O x? ? ? x F? ③防止以偏概全的錯(cuò)誤 以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。 例 5 解不等式 .31 ??? xx 錯(cuò)誤解法 要使原不等式成立，只需 ,)3(103012????????????xxxx 解得.53 ??x 錯(cuò)誤分析 不等式 BA? 成立的充分必要條件是：????????200BABA 或 ??? ??00BA 原不等式的解法只考慮了一種情況????????????2)3(10301xxxx ，而忽視了另一種情況??? ?? ?? 03 01xx，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。 設(shè)所求的過點(diǎn) )1,0( 的直線為 1??kxy )0( ?k 則 ??? ? ?? xy kxy 2 12， ? .01)22(22 ???? xkxk 令 ,0?? 解得 ?? .21k 所求直線為 .121 ?? xy 綜上，滿足條件的直線為： .121,0,1 ???? xyxy (2) 判斷的訓(xùn)練 造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。 例如，解不等式 .1xx? 解 ,1,1 2 ??? xxx? ,1??x 或 .1??x 這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場(chǎng)比賽淘汰 1個(gè)隊(duì)，要淘汰 29支隊(duì)，那么必有 29場(chǎng)比賽。 思考題：實(shí)數(shù) a 為何值時(shí)，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ? ， （ 1） 有 一個(gè)公共點(diǎn)； （ 2） 有三個(gè)公共點(diǎn)； （ 3） 有四個(gè)公共點(diǎn)； （ 4） 沒有公共點(diǎn)。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。當(dāng) a 取最大（?。┲禃r(shí)， b 不一定取最大（小）值，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離與表示上的點(diǎn)，是圓點(diǎn)izizyxzz????? 4,2 22? 如圖 1－ 2－ 3 所示，可知當(dāng) iz 2?? 時(shí)， .3max ??iz 解法四 （運(yùn)用模的性質(zhì)） 312 ??????? iziz? 而當(dāng) iz 2?? 時(shí)， . m a x ????? iziz y x O ． i ． 2i 圖 1－ 2－ 3 Z 解法五 （運(yùn)用模的性質(zhì)） 1)()()(2 ???????? izzzziziziz? .)((),(25 的虛部）表 zzIzI?? 又 .3,9,2)(m a x2m a x ??????? izizzI? 第二講 數(shù)學(xué)思維的反 思性 一、概述 數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。 例 13 已知函數(shù) nmxxxf ??? 22)( ，求證 )1(f 、 )2(f 、 )3(f 中至少有一個(gè)不小于 1. 思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。 證明 .,1111 abcabacbccba ???????? 于是 .0)()1()1)(1)(1( ???????????? cbabcacababccba ? 111 ??? cba 、 中至少有一個(gè)為零，即 a 、 b 、 c 中至少有一個(gè)為 1。 證明 設(shè) cba 、 所對(duì)的角分別為 A 、 B 、 .C 則 C 是直角， A 為銳角，于是 ,c os,sin cbAcaA ?? 且 ,1c o s0,1s in0 ???? AA 當(dāng) 3?n 時(shí)，有 AAAA nn 22 c o sc o s,s ins in ?? 于是有 1c o ss inc o ss in 22 ???? AAAA nn 即 ,1)()( ?? nn cbca 從而就有 .nnn cba ?? 思維阻礙 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù) n 的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái) 。提高思維的變通性。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件， 又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。 證明 不妨設(shè) ),(),( dcBbaA 如圖 1－ 2－ 1所示， 則 .)()( 22 dbcaAB ???? , 2222 dcOBbaOA ???? 在 OAB? 中，由三角 形三邊之間的關(guān)系知： ABOBOA ?? 當(dāng)且僅當(dāng) O在 AB上時(shí)，等號(hào)成立。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會(huì) 用同樣的思維方法解決以后的問題。 （ 3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)家 G . 波利亞在《怎樣解題》中說過： 數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。 任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法?？梢姡忸}過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。 因此， .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。 有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。 （ 2） 聯(lián)想能力的訓(xùn)練 例 4 在 ABC? 中，若 C? 為鈍角，則 tgBtgA? 的值 (A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能確定 思路分析 此題是在 ABC? 中確定三角函數(shù) tgBtgA? 的值。 （ 3） 問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練 我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。 思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為 1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。 正確解法 由題意有 ?????????22)2()1(bafbaf 解得： )],2()1(2[32)],1()2(2[31 ffbffa ???? ).1(95)2(91633)3( ffbaf ????? 把 )1(f 和 )2(f 的范圍代入得 .337)3(316 ?? f 在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。 (2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練 驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。 養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。 例 6 解方程 .cos322 xxx ??? 考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù) xyxy c o s,2)1( 2 ???? ，它們的圖象無(wú)交點(diǎn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。 判斷錯(cuò)誤 判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。在由 xx 1? 推導(dǎo) 12?x 時(shí)，沒有討論 x 的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。 正確解法 122 ??x? ?????????????????2342302304232222xxxxxxxx ???????????????????2231231313131xxxxxx或或或 .22 ???? xx 或 例 求過點(diǎn) )1,0( 的直線，使它與拋物線 xy 22? 僅有一個(gè)交點(diǎn)。 ①注意定理、公式成立的條件 數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。 正確解法 要使原不等式成立，則 ????????????2)3(10301xxxx 或??? ?? ?? 03 01xx 53 ??? x ，或 .31 ??x ?原不等式的解集為 }51|{ ?? xx 例 6（軌跡問題）求與 y 軸相切于右側(cè)，并與 ⊙ 06: 22 ??? xyxC 也相切的圓的圓心 的軌跡方程。 例 7 設(shè)等比數(shù)列 ??na 的全 n 項(xiàng)和為 nS .若 963 2SSS ?? ，求數(shù)列的公比 q . 錯(cuò)誤解法 ,2 963 SSS ??? qqaqqaqqa ?????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 圖 3－ 2因?yàn)槎娼??? 軸－y? 等于 ?60 ， 且 軸，軸軸，軸 yxyx ??? 所以 .60???? xxo 設(shè)焦點(diǎn) F? 在 ?內(nèi)的射影是 ),( yxF ，那么， F 位于 x 軸上， 從而 ,90,60,0 ????????? FOFOFFy 所以 .421260c os ppFOOF ???????所以點(diǎn) )0,4(pF是所求射影的焦點(diǎn)。 例 9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸 x 在軸上，離心率 23?e ，已知點(diǎn))23,0(P 到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是 7 ，求這個(gè)橢圓的方程。與 21,2