【正文】 。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。 例 1 已知 dcba , 都是實(shí)數(shù)，求證 .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的 結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而 左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。 綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。 恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。 例如，解方程組??? ???? 32xy yx. 這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為 2 ，這兩個(gè)數(shù)的積為 3? 。 例如，求和)1( 143 132 121 1 ???????? nn?. 這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且111)1( 1 ???? nnnn，因此，原式等于 1111113121211 ?????????? nnn?問題很快就解決了。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練： （ 1）善于觀察 心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、 發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。 （ 2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x 、 y 是一元二次方程 0322 ??? tt 的兩個(gè)根， 所以??? ???31yx或??? ???13yx.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：0))()(( ???? accbba 思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。根據(jù)其特點(diǎn)， 可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。 思維障礙 大部分學(xué)生的作法如下： 由 xyx 623 22 ?? 得 ,323 22 xxy ??? ,29)3(21323 22222 ????????? xxxxyx ? 當(dāng) 3?x 時(shí)， 22 yx ? 取最大值，最大值為 29 這種解法由于忽略了 02?y 這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。 思路分析 由已知條件 )2()2( xfxf ??? 可知，在與 2?x 左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線 2?x 對稱，又由 已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡捷地解出此題。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。 解 C?? 為鈍角， 0??tgC .在 ABC? 中 )( BACCBA ??????? ?? 且 均為銳角，、 BA ? ?.,0,0.01)()(??????????? ??????????t gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gAt gBt gABAtgBAtgt gC即?? 故應(yīng)選擇（ B） 思維障礙 有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。 證明 當(dāng) 0??yx 時(shí)， 等式 0))((4)( 2 ????? zyyxxz 可看作是關(guān)于 t 的一元二次方程 0)()()( 2 ?????? zytxztyx 有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是 1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 1???yx zy即 zxy ??2 若 0??yx ，由已知條件易得 ,0??xz 即 zyx ?? ,顯然也有 zxy ??2 . 例 6 已知 cba 、 均為正實(shí)數(shù) ,滿足關(guān)系式 222 cba ?? ,又 n 為不小于 3的自然數(shù)，求證 : .nnn cba ?? 思路分析 由條件 222 cba ?? 聯(lián)想到勾股定理 , cba 、 可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。 a 、 b 、 c 中至少有一個(gè)為 1，也就是說111 ??? cba 、 中至少有一個(gè)為零，這樣，問題就容易解決了。 例 12 直線 L 的方程為2px ??，其中 0?p ；橢圓 E 的中心為 )0,22( pO ??，焦點(diǎn)在 X 軸上，長半軸為 2，短半軸為 1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為 )0,2(pA，問 p 在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn) A 的距離等于該點(diǎn)到直線 L 的距離。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。 則??????????????????????????????????????????????????17319729131318112811211)3(1)2(1)1(nmnmnmnmnmnmfff ③②① ①＋③得 9211 ????? nm ， 與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即 )1(f 、 )2(f 、 )3(f 中至少有一個(gè)不小于 1。 解法一 （代數(shù)法）設(shè) ，、 )( Ryxyixz ??? .25)1(.4 2222 yyxizyx ??????? ＝則 .32,2 m a x ?????? izyy 時(shí)，當(dāng)? 解法二 （三角法）設(shè) ),sin(co s2 ?? iz ?? 則 .s in45)1s in2c o s4 22 ??? ????? ＋（iz .31s in m a x ????? iz時(shí)，當(dāng) ? 解法三 （幾何法） 。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例 (1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。 2－②得 32338 ???? b ④ ③ +④ 得 .343)3(310,34333310 ????? fba 即 錯(cuò)誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)bxaxxf ??)( ，其值是同時(shí)受 ba和 制約的。 例 2 證明勾股定理：已知在 ABC? 中， ??? 90C ，求證 .222 bac ?? 錯(cuò)誤證法 在 ABCRt? 中， ,c os,s in cbAcaA ?? 而 1cossin 22 ?? AA ， 1)()( 22 ??? cbca ，即 .222 bac ?? 錯(cuò)誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中， 1cossin 22 ?? AA 這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。 例 3 已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 12 ?? nnS ，求 .na 錯(cuò)誤解法 .222)12()12( 1111 ???? ????????? nnnnnnnn SSa 錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng) 1?n 時(shí)， 123 1111 ???? ?Sa ，錯(cuò)誤原因，沒有注意公式 1??? nnn SSa 成立的條件是 ).(2 Nnn ?? 因此在運(yùn)用 1??? nnn SSa 時(shí)，必須檢驗(yàn) 1?n 時(shí)的情形。 當(dāng)方程①有一正根、一 負(fù)根時(shí)，得??? ???? .0102a解之，得 .11 ??? a 因此，當(dāng) 817?a 或 11 ??? a 時(shí)，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ?有兩個(gè)公共點(diǎn)。 (3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解 受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。 x y O 圖 2－ 2－ 1 x y O 圖 2－ 2－ 2 思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是： 30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有 15＋7＋ 4＋ 2＋ 1＝ 29場比賽。 例 7 設(shè) ??、 是方程 0622 ???? kkxx 的兩個(gè)實(shí)根，則 22 )1()1( ??? ?? 的最小值是（ ） 不存在)(。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得： ,6,2 ???? kk ???? .449)43(42)(22)(1212)1()1(222222???????????????????k???????????? 有的學(xué)生一看到 449? ，常受 選擇答案（ A）的誘惑，盲從附和。 第三講 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性 二、概述 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無誤。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。原因是沒有弄清對數(shù)定義。 第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。 當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為 ,1?y 平行 x 軸，它正好與拋物線 xy 22? 只有一個(gè)交點(diǎn)。 例 實(shí)數(shù) m ，使方程 021)4(2 ????? miximx 至少有一個(gè)實(shí)根。 錯(cuò)解 1 .60,40,10,4 22222 ????????? acbaccax? 故所求的雙曲線方程為 .16040 22 ?? yx 錯(cuò)解 2 由焦點(diǎn) )0,10(F 知 ,10?c .75,5,2 222 ??????? acbaace? 故所求的雙曲線方程為 .17525 22 ?? yx 錯(cuò)解分析 這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。 如果 B 成立，那么 A 成立，即 AB? ，則稱 A 是 B 的必要條件。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。根據(jù)已知條件得 3|||| ?? PMCP ，即 .3)3( 22 ???? xyx 化簡得 ).0(122 ?? xxy 錯(cuò)誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。 C(3,0) y x O 圖 3－ 2－1 M N .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 12 4,0)1)(12(.012033336????????????qqqqqqq或得方程由 錯(cuò)誤分析 在錯(cuò)解中，由qqaqqaqqa ????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 時(shí)，應(yīng)有 .101 ?? qa 和 在等比數(shù)列中， 01?a 是顯然的，但公比 q 完全可能為 1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比 1?q 的情況，再在1?q 的情況下，對式子進(jìn)行整理變形。 例 8 （如圖 3－ 2－ 2），具有公共 y 軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面 ?和 ? 所成的二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 .已知 ? 內(nèi)的曲線 C? 的方程是 )0(22 ??? pxpy ，求曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程。 所以曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程是 .2 pxy ? 錯(cuò)誤分析 上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為曲線）的焦點(diǎn)，是射影 (F 其次，未經(jīng)證明 C?默認(rèn) 條拋物線內(nèi)的射影（曲線）是一在 ? 。在推理過程中，必須y O x? ? ? x F? 所以 22 )7(34 ??b ，由此解得： .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 錯(cuò)解分析 盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。即： 若 21?b ，則當(dāng) by ?? 時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值。 正確解法 1 xxy 22 sec8c sc2 ?? .1842210)4(210)1(8)1(2222222????????????xtgxctgxtgxctgxtgxctg 其中，當(dāng) .1824 222 ??? yxc tgxtgxc tg 時(shí)，即 .18min ??y 正 確 解 法 2 取正常數(shù) k ，易得 kxkxxkxy ????? )c osc os 8()s ins in 2( 2222 .268222 kkkkk ???????? 其中“ ? ”取“＝”的充要條件是 .1821c