【文章內(nèi)容簡介】 0??? 解得 ?? .21k 所求直線為 .121 ?? xy 錯誤分析 此處解法共有三處錯誤： 第一，設所求直線為 1??kxy 時，沒有考慮 0?k 與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。 第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透。 第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數(shù)不能為零，即 ,0?k 而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密。 正確解法 當所求直線斜率不存在時，即直線垂直 x 軸，因為過點 )1,0( ，所以,0?x 即 y 軸，它正好與拋物線 xy 22? 相切。 當所求直線斜率為零時，直線為 ,1?y 平行 x 軸，它正好與拋物線 xy 22? 只有一個交點。 設所求的過點 )1,0( 的直線為 1??kxy )0( ?k 則 ??? ? ?? xy kxy 2 12， ? .01)22(22 ???? xkxk 令 ,0?? 解得 ?? .21k 所求直線為 .121 ?? xy 綜上，滿足條件的直線為： .121,0,1 ???? xyxy (2) 判斷的訓練 造成判斷錯誤的原因很多，我們在學習中，應重視如下幾個方面。 ①注意定理、公式成立的條件 數(shù)學上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯誤。 例 實數(shù) m ，使方程 021)4(2 ????? miximx 至少有一個實根。 錯誤解法 ?方程至少有一個實根， .020)21(4)4( 22 ????????? mmiim ,52??m 或 .52??m 錯誤分析 實數(shù)集合是復數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。 正確解法 設 a 是方程的實數(shù)根，則 .0)24(1 ,021)4(22?????? ????? imamaa miaima 由于 ma、 都是實數(shù)， ??? ?? ???? 024 012 ma maa 解得 .2??m 例 4 已知雙曲線的右準線為 4?x ，右焦點 )0,10(F ,離心率 2?e ,求雙曲線方程。 錯解 1 .60,40,10,4 22222 ????????? acbaccax? 故所求的雙曲線方程為 .16040 22 ?? yx 錯解 2 由焦點 )0,10(F 知 ,10?c .75,5,2 222 ??????? acbaace? 故所求的雙曲線方程為 .17525 22 ?? yx 錯解分析 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會產(chǎn)生錯誤解法。 正解 1 設 ),( yxP 為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為 4?x ，右焦點 )0,10(F ，離心率 2?e ，由雙曲線的定義知 .2|4| )10(22 ?? ??x yx 整理得 .14816 )2( 22 ??? yx 正解 2 依題意，設雙曲線的中心為 )0,(m 則 ??????????????.21042acmcmca 解得 ????????.284mca 所以 ,481664222 ????? acb 故所求雙曲線方程為 .14816 )2( 22 ??? yx ②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用 我們知道： 如果 A 成立，那么 B 成立，即 BA? ，則稱 A 是 B 的充分條件。 如果 B 成立，那么 A 成立，即 AB? ，則稱 A 是 B 的必要條件。 如果 BA? ，則稱 A 是 B 的 充分必要條件。 充分條件和必要條件中我們的學習中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。 例 5 解不等式 .31 ??? xx 錯誤解法 要使原不等式成立，只需 ,)3(103012????????????xxxx 解得.53 ??x 錯誤分析 不等式 BA? 成立的充分必要條件是：????????200BABA 或 ??? ??00BA 原不等式的解法只考慮了一種情況????????????2)3(10301xxxx ，而忽視了另一種情況??? ?? ?? 03 01xx，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯誤解法的實質(zhì)，是把充分條件當成了充分必要條件。 正確解法 要使原不等式成立，則 ????????????2)3(10301xxxx 或??? ?? ?? 03 01xx 53 ??? x ，或 .31 ??x ?原不等式的解集為 }51|{ ?? xx 例 6（軌跡問題）求與 y 軸相切于右側，并與 ⊙ 06: 22 ??? xyxC 也相切的圓的圓心 的軌跡方程。 錯誤解法 如圖 3－ 2－ 1所示， 已知⊙ C的方程為 .9)3( 22 ??? yx 設點 )0)(,( ?xyxP 為所求軌跡上任意一點，并且⊙ P與 y 軸相切于 M點， 與⊙ C相切于 N點。根據(jù)已知條件得 3|||| ?? PMCP ，即 .3)3( 22 ???? xyx 化簡得 ).0(122 ?? xxy 錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條件的點的坐標并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以 x 軸正半軸上任一點為圓心，此 點到原點的距離為半徑（不等于 3）的圓也符合條件，所以 )30(0 ??? xxy 且 也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是 和)0(122 ?? xxy )30(0 ??? xxy 且 。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。 ③防止以偏概全的錯誤 以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴密性。 例 7 設等比數(shù)列 ??na 的全 n 項和為 nS .若 963 2SSS ?? ，求數(shù)列的公比 q . 錯誤解法 ,2 963 SSS ??? qqaqqaqqa ?????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 P C(3,0) y x O 圖 3－ 2－1 M N .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 12 4,0)1)(12(.012033336????????????qqqqqqq或得方程由 錯誤分析 在錯解中，由qqaqqaqqa ????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 時，應有 .101 ?? qa 和 在等比數(shù)列中， 01?a 是顯然的，但公比 q 完全可能為 1，因此，在解題時應先討論公比 1?q 的情況，再在1?q 的情況下，對式子進行整理變形。 正確解法 若 1?q ，則有 .9,6,3 191613 aSaSaS ??? 但 01?a ，即得 ,2 963 SSS ?? 與題設矛盾，故 1?q . 又依題意 ,2 963 SSS ?? 可得 qqaqqaqqa ????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 .012( 363 ）＝整理得 ?? qqq 即 ,0)1)(12( 33 ??? qq 因為 1?q ，所以 ,013 ??q 所以 .012 3 ??q 所以 .243??q 說明 此題為 1996年全國高考文史類數(shù)學試題第（ 21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標準而痛失 2分。 ④避免直觀代替論證 我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進行推理，這就會使思維出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象。 例 8 （如圖 3－ 2－ 2），具有公共 y 軸的兩個直角坐標平面 ?和 ? 所成的二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 .已知 ? 內(nèi)的曲線 C? 的方程是 )0(22 ??? pxpy ，求曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程。 錯誤解法 依題意，可知曲線 C? 是拋物線， 在 ? 內(nèi)的焦點坐標是 .0),0,2( ?? ppF y O x? ? ? x F? 圖 3－ 2因為二面角 ?? 軸－y? 等于 ?60 ， 且 軸，軸軸，軸 yxyx ??? 所以 .60???? xxo 設焦點 F? 在 ?內(nèi)的射影是 ),( yxF ，那么， F 位于 x 軸上， 從而 ,90,60,0 ????????? FOFOFFy 所以 .421260c os ppFOOF ???????所以點 )0,4(pF是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。 所以曲線 C? 在 ?內(nèi)的射影的曲線方程是 .2 pxy ? 錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為曲線）的焦點，是射影 (F 其次，未經(jīng)證明 C?默認 條拋物線內(nèi)的射影（曲線）是一在 ? 。 正確解法 在 ? 內(nèi)，設點 ),( yxM ?? 是曲線上任意一點 （如圖 3－ 2－ 3）過點 M 作 ??MN ，垂足為 N ， 過 N 作 yNH? 軸，垂足為 .H 連接 MH ， 則 yMH? 軸。所以 MHN? 是二面角 ?? 軸－y? 的平面角，依題意， MHN? ??60 . 在 .2160c o s, xHMHNM N HRt ?????? 中 又知 xHM ?// 軸（或 M 與 O重合）， xHN// 軸（或 H 與 O重合），設 ),( yxN ， 則 ?????????????????.221yyxxyyxx 因為 點 ),( yxM ?? 在曲線 )0(22 ??? pxpy 上，所以 ).2(22 xpy ? 即所求射影的方程為 ).0(42 ?? ppxy (3) 推理的訓練 數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須y O x? ? ? x F? 圖 3－ 2－ 3 M N H 注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。 例 9 設橢圓的中心是坐標原點，長軸 x 在軸上，離心率 23?e ，已知點)23,0(P 到這個橢圓上的最遠距離是 7 ，求這個橢圓的方程。 錯誤解法 依題意可設橢圓方程為 )0(12222 ???? babyax 則 43122222222 ?????? aba baace ， 所以 4122 ?ab ，即 .2ba? 設橢圓上的點 ),( yx 到點 P 的距離為 d ， 則 222 )23( ??? yxd .34)21(3493)1(222222??????????byyybya 所以當 21??y 時， 2d 有最大值，從而 d 也有最大值。 所以 22 )7(34 ??b ，由此解得： .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 錯解分析 盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結果正確只是碰巧而已。由當 21??y 時， 2d 有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮 y 到的取值范圍。事實上，由于點 ),( yx 在橢圓上，所以有 byb ??? ，因 此在求 2d 的最大值時，應分類討論。即： 若 21?b ，則當 by ?? 時， 2d （從而 d ）有最大值。 于是 ,)23()7( 22 ?? b 從而解得 矛盾。與 21,21237