高中數(shù)學(xué)常用思想方法(編輯修改稿)
2024-09-01 18:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x∈(0,3)和直線y＝m后畫(huà)出圖像求解?！咀ⅰ?一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡(jiǎn)單明了。此題也可用代數(shù)方法來(lái)討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來(lái)求（也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值）。三、分類(lèi)與整合思想在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)求解，然后綜合得解，這就是分類(lèi)討論法。分類(lèi)討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類(lèi)討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：① 問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類(lèi)進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a0、a＝0、a0三種情況。這種分類(lèi)討論題型可以稱(chēng)為概念型。② 問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類(lèi)給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類(lèi)討論題型可以稱(chēng)為性質(zhì)型。③ 解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax2時(shí)分a0、a＝0和a0三種情況討論。這稱(chēng)為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò)分類(lèi)討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類(lèi)的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類(lèi)討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類(lèi)，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類(lèi)互斥（沒(méi)有重復(fù)）；再對(duì)所分類(lèi)逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。例4. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－2x＋2，對(duì)于滿(mǎn)足1x4的一切x值都有f(x)0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！痉治觥?含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問(wèn)題，需要先對(duì)開(kāi)口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，最后綜合得解?！窘狻慨?dāng)a0時(shí)，f(x)＝a（x－）＋2－∴ 或或∴ a≥1或a1或φ 即 a；當(dāng)a0時(shí)，解得φ；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合題意由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 。【注】本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開(kāi)口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a0、a0、a＝0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a0時(shí)將對(duì)稱(chēng)軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。四、化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化即等價(jià)轉(zhuǎn)化，是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)
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