【文章內(nèi)容簡介】 ① 因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得?????????????.01021202aa 解之，得 .817?a 錯(cuò)誤分析 （如圖 2－ 2－ 1； 2－ 2－ 2）顯然，當(dāng) 0?a 時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。 要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。 x y O 圖 2－ 2－ 1 x y O 圖 2－ 2－ 2 第 11 頁 共 41 頁 當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得??? ???? .0102a解之，得 .11 ??? a 因此，當(dāng) 817?a 或 11 ??? a 時(shí)，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ? 有兩個(gè)公共點(diǎn)。 思考題：實(shí)數(shù) a 為何值時(shí)，圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ? ， （ 1） 有一個(gè)公共點(diǎn)； （ 2） 有三個(gè)公共點(diǎn)； （ 3） 有四個(gè)公共點(diǎn)； （ 4） 沒有公共點(diǎn)。 養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。 (3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見 解 受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。 例 5 30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場比賽？ 解 因?yàn)槊繄鲆蕴?1 個(gè)隊(duì)， 30 個(gè)隊(duì)要淘汰 29 個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排 29場比賽。 思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是： 30 支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有 15＋ 7＋ 4＋ 2＋ 1＝ 29場比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰 1個(gè)隊(duì)，要淘汰 29支隊(duì)，那么必有 29場比賽。 例 6 解方程 .co s322 xxx ??? 考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù) xyxy c o s,2)1( 2 ???? ，它們的圖象無交點(diǎn)。 所以此方程無解。 例 7 設(shè) ??、 是方程 0622 ???? kkxx 的兩個(gè)實(shí)根，則 22 )1()1( ??? ?? 的最小值是（ ） 不存在)(。18)(。8)(。449)( DCBA ? 思路分析 本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了 3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。 利用一元二次 方程根與系數(shù)的關(guān)系易得： ,6,2 ???? kk ???? .449)43(42)(22)(1212)1()1(222222???????????????????k???????????? 有的學(xué)生一看到 449? ，常受選擇答案（ A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正第 12 頁 共 41 頁 確答案。 ? 原方程有兩個(gè)實(shí)根 ??、 ， ,0)6(44 2 ?????? kk .32 ???? kk 或 當(dāng) 3?k 時(shí)， 22 )1()1( ??? ?? 的最小值是 8；當(dāng) 2??k 時(shí)， 22 )1()1( ??? ?? 的最小值是18； 這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（ B）正確。 第 13 頁 共 41 頁 第三講 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性 二、概述 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于 認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： 概念模糊 概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。 判斷錯(cuò)誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，“函數(shù) xy ?? )31( 是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷 。 推理錯(cuò)誤 推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密。 例如，解不等式 .1xx? 解 ,1,1 2 ??? xxx? ,1??x 或 .1??x 這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由 xx 1? 推導(dǎo) 12?x 時(shí)，沒有討論 x 的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例 思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。 (1) 有關(guān)概念的訓(xùn)練 概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提?！薄吨袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（試行草案） 不等式 ).23(l o g)423(l o g 2)2(2)2( 22 ????? ?? xxxx xx 錯(cuò)誤解法 ,122 ??x? ,23423 22 ?????? xxxx .223,062 2 ???????? xxxx 或 錯(cuò)誤分析 當(dāng) 2?x 時(shí)，真數(shù) 0232 ??? xx 且 2?x 在所求的范圍內(nèi)（因 232? ），說明解法錯(cuò)誤。原因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。 正確解法 122 ??x? ?????????????????2342302304232222xxxxxxxx ???????????????????2231231313131xxxxxx或或或 第 14 頁 共 41 頁 .22 ???? xx 或 求 過點(diǎn) )1,0( 的直線，使它與拋物線 xy 22 ? 僅有一個(gè)交點(diǎn)。 錯(cuò)誤解法 設(shè)所求的過點(diǎn) )1,0( 的直線為 1??kxy ，則它與拋物線的交點(diǎn)為 ??? ? ?? xy kxy 2 12，消去 y 得： .02)1( 2 ??? xkx 整理得 .01)22(22 ???? xkxk ?直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)， ,0??? 解得 ?? .21k 所求直線為 .121 ?? xy 錯(cuò)誤分析 此處解法共有三處錯(cuò)誤： 第一，設(shè)所求直線為 1??kxy 時(shí)，沒有考慮 0?k 與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。 第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況， 只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。 第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即 ,0?k 而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。 正確解法 當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直 x 軸，因?yàn)檫^點(diǎn) )1,0( ，所以 ,0?x 即 y 軸，它正好與拋物線 xy 22 ? 相切。 當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為 ,1?y 平行 x 軸，它正好與拋物線 xy 22 ? 只有一個(gè)交點(diǎn)。 設(shè)所求的過點(diǎn) )1,0( 的直線為 1??kxy )0( ?k 則 ??? ? ?? xy kxy 2 12， ? .01)22(22 ???? xkxk 令 ,0?? 解得 ?? .21k 所求直線為 .121 ?? xy 綜上，滿足條件的直線為： .121,0,1 ???? xyxy 判斷的訓(xùn)練 造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們在學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。 ①注意定理、公式成立的條件 數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。 實(shí)數(shù) m ，使方程 021)4(2 ????? miximx 至少有一個(gè)實(shí)根。 錯(cuò)誤解法 ?方程至少有一個(gè)實(shí)根， .020)21(4)4( 22 ????????? mmiim ,52??m 或 .52??m 第 15 頁 共 41 頁 錯(cuò)誤分析 實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造 成解法錯(cuò)誤。 正確解法 設(shè) a 是方程的實(shí)數(shù)根，則 .0)24(1 ,021)4(22?????? ????? imamaa miaima 由于 ma、 都是實(shí)數(shù)， ??? ?? ???? 024 012 ma maa 解得 .2??m 例 4 已知雙曲線的右準(zhǔn)線為 4?x ，右焦點(diǎn) )0,10(F ,離心率 2?e ,求雙曲線方程。 錯(cuò)解 1 .60,40,10,4 22222 ????????? acbaccax? 故所求的雙曲線方程為 .16040 22 ?? yx 錯(cuò)解 2 由焦點(diǎn) )0,10(F 知 ,10?c .75,5,2 222 ??????? acbaace? 故所求的雙曲線方程為 .17525 22 ?? yx 錯(cuò)解分析 這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。 正解 1 設(shè) ),( yxP 為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為 4?x ，右焦點(diǎn) )0,10(F ，離心率 2?e ，由雙曲線的定義知 .2|4| )10(22 ?? ??x yx 整理得 .14816 )2( 22 ??? yx 正解 2 依題意，設(shè)雙曲線的中心為 )0,(m 第 16 頁 共 41 頁 則 ??????????????.21042acmcmca 解得 ????????.284mca 所以 ,481664222 ????? acb 故所求雙曲線方程為 .14816 )2( 22 ??? yx ②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用 我們知道： 如果 A 成立，那么 B 成立，即 BA? ，則稱 A 是 B 的充分條件。 如果 B 成立，那么 A 成立，即 AB? ，則稱 A 是 B 的必要條件。 如果 BA? ，則稱 A 是 B 的充分必要條件。 充分條件和必要條件中我們的學(xué) 習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。 例 5 解不等式 .31 ??? xx 錯(cuò)誤解法 要使原不等式成立，只需 ,)3(103012????????????xxxx 解得 .53 ??x 錯(cuò)誤分析 不等式 BA? 成立的充分必要條件是：????????200BABA或 ??? ??00BA 原不等式的解 法只考慮了一種情況????????????2)3(10301xxxx ，而忽視了另一種情況??? ?? ?? 03 01xx，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件， 其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。 正確解法 要使原不等式成立，則 ????????????2)3(10301xxxx或??? ?? ?? 03 01xx 53 ??? x ，或 .31 ??x ?原不等式 的解集為 }51|{ ?? xx 例 6（軌跡問題）求與 y 軸相切于右側(cè)，并與 P C(3,0) y x O 圖 3－ 2－1 M N 第 17 頁 共 41 頁 ⊙ 06: 22 ??? xyxC 也相切的圓的圓心 的軌跡方程。 錯(cuò)誤解法 如圖 3－ 2－ 1所示， 已知⊙ C的方程為 .9)3( 22 ??? yx 設(shè)點(diǎn) )0)(,( ?xyxP 為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙ P與 y 軸相切于 M點(diǎn)， 與⊙ C相切于 N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得 3|||| ?? PMCP ，即 .3)3( 22 ???? xyx 化簡得 ).0(122 ?? xxy 錯(cuò)誤分析 本題只考慮了所求