高中數(shù)學數(shù)列復習-題型歸納-解題方法整理(編輯修改稿)
2025-08-19 11:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 次抽取第3，4，6，…，…項，組成新數(shù)列，試求數(shù)列的通項及前項和.解：（Ⅰ）∵點在函數(shù)的圖象上，∴?！?，即數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴。（Ⅱ）依題意知：∴==.小結與拓展：把數(shù)列的每一項分成多個項，再把數(shù)列的項重新組合，使其轉化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解。【題型3】 裂項相消法例3 （2010年東城二模19改編）已知數(shù)列的前項和為，，設．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）數(shù)列滿足，求。證明：（Ⅰ）由于， ① 當時，． ②① ②得 ． 所以 ． 又， 所以．因為，且，所以．所以．故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則（）． ．小結與拓展：裂項相消法是把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只余有限幾項，可求和。它適用于其中{}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。如：1）和（其中等差）可裂項為：；2）。（根式在分母上時可考慮利用分母有理化，因式相消求和）（2）（5）錯位相減法：適用于差比數(shù)列（如果等差，等比，那么叫做差比數(shù)列）即把每一項都乘以的公比，向后錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數(shù)列求和。如：等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的. （6）累加（乘）法（7）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求。（8）其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等。【題型4】 錯位相減法例4 求數(shù)列前n項的和.解：由題可知{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設 ① ② （設制錯位）①－②得（錯位相減） ∴ 【題型5】 并項求和法例5 求＝1002－992＋982－972＋…＋22－12解：＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋ 99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.【題型6】 累加（乘）法及其它方法：歸納、猜想、證明；周期數(shù)列的求和等等例6 求之和.解：由于 （找通項及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝以上一個8種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結構，使其能進行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。 數(shù)列的通項公式一個數(shù)列{an}的 與 之間的函數(shù)關系，如果可用一個公式an＝f(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（1）（1）定義法與觀察法（合情推理：不完全歸納法）：直接
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