高中數(shù)學(xué)數(shù)列數(shù)列的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-02 16:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 設(shè)經(jīng)過 n 年，總收入超過 總投入，由此 bn－ an＞ 0 ， 即 1 600 [(54)n－ 1] － 4 0 00 [1 － (45)n] ＞ 0 ， 令 x ＝ (45)n，代入上式得 5x2－ 7x ＋ 2 ＞ 0 ， 解此不等式，得 x ＜25，或 x ＞ 1( 舍去 ) ， 即 (45)n＜25，由此得 n ≥ 5. 答：至少經(jīng)過 5 年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入． 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） 1． 解答本題時 ， 理解題意是關(guān)鍵 ， 其中 an， bn是等比數(shù)列的前 n項和 ， 而非第 n項 ． 2． 數(shù)列應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型 ， 往往從給出的初始條件入手 ， 推出若干項 ， 逐步探索數(shù)列通項或前 n項和或前后兩項的遞推關(guān)系 ， 從而建立等比數(shù)列模型 ． 3． 與等比數(shù)列聯(lián)系密切的是 “ 增長率 ” 、 “ 遞減率 ”的概念 ， 在經(jīng)濟上多涉及利潤 、 成本 、 效益的增減問題；在人口數(shù)量的研究中也要研究增長率問題；金融問題更多涉及復(fù)利的問題 ， 這都與等比數(shù)列有關(guān) ． 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） (2022湖南高考 )某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn) ． 該企業(yè)第一年年初有資金 2 000萬元 ， 將其投入生產(chǎn) ， 到當(dāng)年年底資金增長了 50%.預(yù)計以后每年獎金年增長率與第一年的相同 ． 公司要求企業(yè)從第一年開始 ， 每年年底上繳資金 d萬元 ， 并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn) ． 設(shè)第 n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為 an萬元 ． (1)用 d表示 a1， a2， 并寫出 an＋ 1與 an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過 m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為 4 000萬元 ， 試確定企業(yè)每年上繳資金 d的值 (用 m表示 )． 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） 【解】 ( 1 ) 由題意 a1＝ 2022 ( 1 ＋ 50 % ) － d ＝ 3000 － d ， a2＝ a1( 1 ＋ 50 % ) － d ＝32a1－ d ＝ 4 500 －52d . an ＋ 1＝ an( 1 ＋ 50 % ) － d ＝32an－ d . ( 2 ) 由 an ＋ 1＝32an－ d ， 得 an ＋ 1－ 2 d ＝32( an－ 2 d ) ， ∴ { an－ 2 d } 是公比為32的等比數(shù)列， 則 an－ 2 d ＝ ( 3000 － 3 d ) (32)n － 1， ∴ an＝ ( 3000 － 3 d ) (32)n － 1＋ 2 d ， 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） 又 am＝ 4000 ， ∴ (32)m － 1( 3000 － 3 d ) ＋ 2 d ＝ 4000 ， 解得 d ＝[ （32）m－ 2] 1 000（32）m－ 1＝1 000 （ 3m－ 2m ＋ 1）3m－ 2m. 故該企業(yè)每年上繳資金 d 的值為1 000 （ 3m－ 2m ＋ 1）3m－ 2m時，經(jīng)過 m ( m ≥ 3) 年 企業(yè)的剩余資金為 4 000 萬元． 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） 在等比數(shù)列 {a n } 中， a n ＞ 0(n ∈ N*) ，公比 q ∈ (0 ， 1) ，且 a 1 a 5 ＋ 2a 3 a 5 ＋ a 2 a 8 ＝ 25 ，又 a 3 與 a 5 的等比中項為 2. (1) 求數(shù)列 {a n } 的通項公式； (2) 設(shè) b n ＝ lo g 2 a n ，求數(shù)列 {b n } 的前 n 項和 S n ； (3) 是否 存在 k ∈ N*，使得S 11＋S 22＋ ? ＋S nn＜ k 對任意n ∈ N*恒成立，若存在，求出 k 的最小值，若不存在，請說明理由． 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） 【嘗試解答】 (1) ∵ a 1 a 5 ＋ 2a 3 a 5 ＋ a 2 a 8 ＝ 25 ， ∴ a23 ＋ 2a 3 a 5 ＋ a25 ＝ 25 ， ∴ (a 3 ＋ a 5 )2＝ 25 ， 又 a n ＞ 0 ， ∴ a 3 ＋ a 5 ＝ 5 ，又 a 3 與 a 5 的等比中項為 2 ， ∴ a 3 a 5 ＝ 4 ，而 q ∈ (0 ， 1) ， ∴ a 3 ＞ a 5 ， ∴ a 3 ＝ 4 ， a 5 ＝ 1 ， ∴ q ＝12， a 1 ＝ 16 ， ∴ a n ＝ 16 (12)n － 1＝ 25 － n. 【思路點撥】 第 ( 1 ) 問由等比數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為 a 3 ＋ a 5與 a 3 a 5 的關(guān)系，求 a 3 與 a 5 進(jìn)而求 a n ；第 ( 2 ) 問先判斷數(shù)列 { b n } ，再由求和公式求 S n ；第 ( 3 ) 問由S nn確定正負(fù)項，進(jìn)而求S 11＋S 22＋ ? ＋S nn的最大值，從而確定 k 的最小值 ． 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） ( 2 ) ∵ b n ＝ log 2 a n ＝ 5 － n ， ∴ b n ＋ 1 － b n ＝－ 1 ， b 1 ＝ log 2 a 1 ＝ log 2 16 ＝ log 2 24＝ 4 ， ∴ { b n } 是以 b 1 ＝ 4 為首項，－ 1 為公差的等差數(shù)列， ∴ S n ＝n （ 9 － n ）2. ( 3 ) 由 ( 2 ) 知 S n ＝n （ 9 － n ）2， ∴S nn＝9 － n2. 菜 單 課后作業(yè) 典例探究提知能 自主落實固基礎(chǔ) 高考體驗明考情 新課標(biāo) 文科數(shù)學(xué) （ 安徽專用 ） 當(dāng) n ≤ 8 時，S nn＞ 0
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