高中數(shù)學數(shù)列專題大題訓練-高中課件精選(編輯修改稿)
2025-05-01 05:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 論．【解答】解：若a1+a2＞0，則2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0時，結論成立，即A不正確；若a1+a3＜0，則a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0時，結論成立，即B不正確；{an}是等差數(shù)列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正確；若a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正確．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項，考查學生的計算能力，比較基礎． 二．解答題（共14小題）10．（2015?四川）設數(shù)列{an}（n=1，2，3，…）的前n項和Sn滿足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）記數(shù)列{}的前n項和為Tn，求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式得到an=2an﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差數(shù)列求出數(shù)列首項，可得數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則其通項公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數(shù)列{}的通項公式，再由等比數(shù)列的前n項和求得Tn，結合求解指數(shù)不等式得n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 （n≥2），即an=2an﹣1（n≥2），從而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴．由，得，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|Tn﹣1|成立的n的最小值為10．【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題． 11．（2015?湖北）設等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式（2）當d＞1時，記=，求數(shù)列{}的前n項和Tn．【分析】（1）利用前10項和與首項、公差的關系，聯(lián)立方程組計算即可；（2）當d＞1時，由（1）知=，寫出Tn、Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可．【解答】解：（1）設a1=a，由題意可得，解得，或，當時，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；當時，an=（2n+79），bn=9?；（2）當d＞1時，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，∴==，∴Tn=1+3?+5?+7?+9?+…+（2n﹣1）?，∴Tn=1?+3?+5?+7?+…+（2n﹣3）?+（2n﹣1）?，∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）?=3﹣，∴Tn=6﹣．【點評】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 12．（2014?新課標Ⅱ）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．（Ⅰ）證明{an+}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；（Ⅱ）證明：++…+＜．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義，后一項與前一項的比是常數(shù)，即=常數(shù)，又首項不為0，所以為等比數(shù)列； 再根據(jù)等比數(shù)列的通項化式，求出{an}的通項公式；（Ⅱ）將進行放大，即將分母縮小，使得構成一個等比數(shù)列，從而求和，證明不等式．【解答】證明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴數(shù)列{an+}是以首項為，公比為3的等比數(shù)列；∴an+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當n≥2時，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴當n=1時，成立，當n≥2時，++…+＜1+…+==＜．∴對n∈N+時，++…+＜．【點評】本題考查的是等比數(shù)列，用放縮法證明不等式，證明數(shù)列為等比數(shù)列，只需要根據(jù)等比數(shù)列的定義就行；數(shù)列與不等式常結合在一起考，放縮法是常用的方法之一，通過放大或縮小，使原數(shù)列變成一個等比數(shù)列，或可以用裂項相消法求和的新數(shù)列．屬于中檔題． 13．（2013?新課標Ⅱ）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1=25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【分析】（I）設等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，利用成等比數(shù)列的定義可得，再利用等差數(shù)列的通項公式可得，化為d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通項公式an；（II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此數(shù)列是以25為首項，﹣6為公差的等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【解答】解：（I）設等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，由題意a1，a11，a13成等比數(shù)列，∴，∴，化為d（2a1+25d）=0，∵d≠0，∴225+25d=0，解得d=﹣2．∴an=25+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+27．（II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此數(shù)列是以25為首項，﹣6為公差的等差數(shù)列．∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n﹣2===﹣3n2+28n．【點評】熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式是解題的關鍵． 14．（2013?大綱版）等差數(shù)列{an}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{an}的通項公式； （Ⅱ）設bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，結合等差數(shù)列的通項公式可求
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