高中數(shù)學(xué)數(shù)列專(zhuān)題大題訓(xùn)練-高中課件精選-資料下載頁(yè)
2025-04-04 05:13本頁(yè)面
【正文】 n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n﹣1；（2）Sn==2n﹣1，∴bn===﹣，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵． 20．（2015?山東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}，滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，兩式相減2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，從而可得{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）依題意，anbn=log3an，可得b1=，當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）31﹣n，于是可求得T1=b1=；當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn=+（13﹣1+23﹣2+…+（n﹣1）31﹣n），利用錯(cuò)位相減法可求得{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，此時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=23n﹣1，即an=3n﹣1，所以an=．（Ⅱ）因?yàn)閍nbn=log3an，所以b1=，當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）31﹣n，所以T1=b1=；當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn=+（13﹣1+23﹣2+…+（n﹣1）31﹣n），所以3Tn=1+（130+23﹣1+33﹣2+…+（n﹣1）32﹣n），兩式相減得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）31﹣n）=+﹣（n﹣1）31﹣n=﹣，所以Tn=﹣，經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)也適合，綜上可得Tn=﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查“錯(cuò)位相減法”求和，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題． 21．（2008?全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由（Ⅰ）設(shè)bn=Sn﹣3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）依題意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．所以bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由題設(shè)條件知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，an=Sn﹣Sn﹣1=，由此可以求得a的取值范圍是[﹣9，+∞）．【解答】解：（Ⅰ）依題意，Sn+1﹣Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．（4分）因此，所求通項(xiàng)公式為bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）2n﹣2=23n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，an+1﹣an=43n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，當(dāng)n≥2時(shí)，?a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．綜上，所求的a的取值范圍是[﹣9，+∞）．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要仔細(xì)審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件． 22．（2014?山東）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（Ⅰ）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．對(duì)n分類(lèi)討論“裂項(xiàng)求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，∴Sn==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比數(shù)列，∴，∴，化為，解得a1=1．∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．∴Tn=﹣++…+．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力、計(jì)算能力、“裂項(xiàng)求和”、分類(lèi)討論思想方法，屬于難題． 23．（2014?安徽）數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)bn=3n?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（Ⅰ）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得，由等差數(shù)列的定義得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n?=n?3n，利用錯(cuò)位相減求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】證明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），∴，∴，∴數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，bn=3n?=n?3n，∴?3n﹣1+n?3n①?3n+n?3n+1②①﹣②得3n﹣n?3n+1==∴【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；考查數(shù)列求和的方法：錯(cuò)位相減法．求和的關(guān)鍵是求出通項(xiàng)選方法． 高中
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