高中數(shù)學(xué)數(shù)列專題大題訓(xùn)練-高中課件精選-資料下載頁
2025-04-04 05:13本頁面
【正文】 n項和Tn．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即數(shù)列{an}的通項公式an=2n﹣1；（2）Sn==2n﹣1，∴bn===﹣，∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=+…+﹣=﹣=1﹣．【點評】本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵． 20．（2015?山東）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}，滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項和Tn．【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；當(dāng)n＞1時，2Sn﹣1=3n﹣1+3，兩式相減2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，從而可得{an}的通項公式；（Ⅱ）依題意，anbn=log3an，可得b1=，當(dāng)n＞1時，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）31﹣n，于是可求得T1=b1=；當(dāng)n＞1時，Tn=b1+b2+…+bn=+（13﹣1+23﹣2+…+（n﹣1）31﹣n），利用錯位相減法可求得{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）因為2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，當(dāng)n＞1時，2Sn﹣1=3n﹣1+3，此時，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=23n﹣1，即an=3n﹣1，所以an=．（Ⅱ）因為anbn=log3an，所以b1=，當(dāng)n＞1時，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）31﹣n，所以T1=b1=；當(dāng)n＞1時，Tn=b1+b2+…+bn=+（13﹣1+23﹣2+…+（n﹣1）31﹣n），所以3Tn=1+（130+23﹣1+33﹣2+…+（n﹣1）32﹣n），兩式相減得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）31﹣n）=+﹣（n﹣1）31﹣n=﹣，所以Tn=﹣，經(jīng)檢驗，n=1時也適合，綜上可得Tn=﹣．【點評】本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查“錯位相減法”求和，考查分析、運算能力，屬于中檔題． 21．（2008?全國卷Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由（Ⅰ）設(shè)bn=Sn﹣3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）依題意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．所以bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由題設(shè)條件知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，an=Sn﹣Sn﹣1=，由此可以求得a的取值范圍是[﹣9，+∞）．【解答】解：（Ⅰ）依題意，Sn+1﹣Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．（4分）因此，所求通項公式為bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）2n﹣2=23n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，an+1﹣an=43n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，當(dāng)n≥2時，?a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．綜上，所求的a的取值范圍是[﹣9，+∞）．（12分）【點評】本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要仔細(xì)審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件． 22．（2014?山東）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【分析】（Ⅰ）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．對n分類討論“裂項求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，∴Sn==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比數(shù)列，∴，∴，化為，解得a1=1．∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．∴Tn=﹣++…+．當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力、計算能力、“裂項求和”、分類討論思想方法，屬于難題． 23．（2014?安徽）數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)bn=3n?，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．【分析】（Ⅰ）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得，由等差數(shù)列的定義得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n?=n?3n，利用錯位相減求出數(shù)列{bn}的前n項和Sn．【解答】證明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1），∴，∴，∴數(shù)列{}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，bn=3n?=n?3n，∴?3n﹣1+n?3n①?3n+n?3n+1②①﹣②得3n﹣n?3n+1==∴【點評】本題考查利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；考查數(shù)列求和的方法：錯位相減法．求和的關(guān)鍵是求出通項選方法． 高中
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