上海高中數(shù)學數(shù)列的極限(編輯修改稿)
2024-11-15 00:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之???如此下去，無限次地切，每次都切一半，問是否會切完?大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原來的少了一半，也就是說木棒的長度越來越短，但永遠不會變成零。從而引出極限的概念。展示定義探索(一)動畫演示。問題1：請觀察以下無窮數(shù)列，當n無限增大時，a，I的變化趨勢有什么特點?(1)1/2,2/3,3/4,?n/n1(2)，，11/10n??問題2：觀察課件演示，請分析以上兩個數(shù)列隨項數(shù)n的增大項有那些特點?師生一起歸納總結(jié)出以下結(jié)論：數(shù)列(1)項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1；數(shù)列(2)項數(shù)n無限增大時，項無限趨近于1。那么就把1叫數(shù)列(1)的極限，1叫數(shù)列(2)的極限。這兩個數(shù)列只是形式不同，它們都是隨項數(shù)n的無限增大，項無限趨近于某一確定常數(shù)，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的極限。那么，什么叫數(shù)列的極限呢?對于無窮數(shù)列an，如果當n無限增大時，an無限趨向于某一個常數(shù)A，則稱A是數(shù)列an的極限。提出問題3：怎樣用數(shù)學語言來定量描述呢?怎樣用數(shù)學語言來描述上述數(shù)列的變化趨勢?展示定義探索(二)動畫演示，師生共同總結(jié)發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上兩點間距離越小，項與1越趨近，因此可以借助兩點間距離無限小的方式來描述項無限趨近常數(shù)。無論預(yù)先指定多么小的正數(shù)e，如取e=O1，總能在數(shù)列中找到一項am，使得an項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，若取￡=0。0001，則第6項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，即1是數(shù)列(1)的極限。最后，師生共同總結(jié)出數(shù)列的極限定義中應(yīng)包含哪量(用這些量來描述數(shù)列1的極限)。數(shù)列的極限為：對于任意的ε0，如果總存在自然數(shù)N，當nN時，不等式｜anA｜n的極限。定義探索動畫(一)：課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應(yīng)的數(shù)列第n項的值，并且動畫演示數(shù)列的變化過程。如圖1所示是課件運行時的一個畫面。定義探索動畫(二)課件可以實現(xiàn)任意輸入一個n值，可以計算出相應(yīng)的數(shù)列第n項的值和I an一1I的值，并且動畫演示出第an項和1之間的距離。如圖2所示是課件運行時的一個畫面。這里舉了3道例題，與學生一塊思考，一起分析作答。：1,1/2,1/3,1/4,1/5??,(1)n+11/n，??(1)計算|an0|(2)。(3)確定這個數(shù)列的極限。：已知數(shù)列：3/2,9/4,15/8??，2+(1/2)n，??。猜測這個數(shù)列有無極限，如果有，應(yīng)該是什么數(shù)?并求出從第幾項開始，從第幾項開始，一7，一7，一7，??的極限。這節(jié)課我們研究了數(shù)列極限的概念，對數(shù)列極限有了初步的認識。數(shù)列極限研究的是無限變化的趨勢，而通過對數(shù)列極限定義的探討，我們看到這一過程又是通過有限來把握的，有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變之間的辯證關(guān)系在這里得到了充分的體現(xiàn)。課后練習：(1)判斷下列數(shù)列是否有極限，如果有的話請求出它的極限值。①an=4n+l/n；②an=4(1/3)m；③an=(1)n/3n；④aan=2；⑤an=n；⑥an=(1)n。(2)課本練習1，2。設(shè)計研究性學習的思考題。提出問題：芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜，因為當阿基里斯到達烏龜?shù)钠鹋茳c時，烏龜已經(jīng)走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1公里。，??這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎?這里是研究性學習內(nèi)容，以學生感興趣的悖論作為課后作業(yè)，鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，進一步提高了學生學習數(shù)列的極限的興趣。同時也為學生創(chuàng)設(shè)了課下交流與討論的情境，逐步培養(yǎng)學生相互合作、交流和討論的習慣，使學生感受到了數(shù)學來源于生活，又服務(wù)于生活的實質(zhì)，逐步養(yǎng)成用數(shù)學的知識去解決生活中遇到的實際問題的習慣。第三篇：數(shù)列極限例題三、數(shù)列的極限(1)n1}當n174。165。{1+n問題:當n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:(1)n1當n無限增大時, xn=1+:“無限接近”意味著什么?=(1)n1給定11= nn1111, 由, 只要n100時, 有xn1, 100n10010011,只要n1000時, 有xn1, 給定1000100011,只要n10000時, 有xn1, 給定10000100001給定e0,只要nN(=[])時, 有xn1如果對于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于nN時的一切xn, 不等式xnae都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為limxn=a,或xn174。a(n174。165。).n174。165。如果數(shù)列沒有極限, ：eN定義:limxn=a219。e0,$N0, 使nN時, 恒有xna174。165。其中記號:每一個或任給的。$::ae2ea+exN+2x2x1xN+1ax3x當nN時, 所有的點xn都落在(ae,a+e)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)：+(1)n1= 證明limn174。165。nn+(1)n111 =.證注意到xn
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