蘇教版高中數(shù)學(xué)必修521數(shù)列3篇(編輯修改稿)
2024-12-25 19:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 1( 2)nnaana????? ? ? ???，能寫出這個(gè)數(shù)列的前 5項(xiàng)嗎？ 思考： 已知在數(shù)列 ??na 中 1 2nnaa? ??，那么這個(gè)數(shù)列中的任意一項(xiàng)是否都可以寫出來？ 二、研探新知 1．遞推公式 （ 1）遞推公式的概念： 知識(shí)都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活 奎屯王新敞 新疆用其來解決一些實(shí)際問題．觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一： 自上而下： 第 1層鋼管數(shù)為 4；即： 1? 4＝ 1+3 第 2層鋼管數(shù)為 5；即： 2? 5＝ 2+3 第 3層鋼管數(shù)為 6；即： 3? 6＝ 3+3 第 4層鋼管數(shù)為 7；即： 4? 7＝ 4+3 第 5層鋼管數(shù)為 8；即： 5? 8＝ 5+3 第 6層鋼管數(shù)為 9；即： 6? 9＝ 6+3 第 7層鋼管數(shù)為 10；即： 7? 10＝ 7+3 若用 na 表示鋼管數(shù)， n 表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且 1(3??nan≤ n≤ 7）運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù) 奎屯王新敞 新疆這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很多方便。 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律） 模型二： 上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多 1。 即 41?a ； 1145 12 ????? aa ； 1156 23 ????? aa 依此類推： 11 ?? ?nn aa （ 2≤ n≤ 7） 對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第 1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來，這一關(guān)系也較為重要。 定義 ： 如果已知數(shù)列 ??na 的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），以及任一項(xiàng) na 與前面一項(xiàng) na （ 或前幾項(xiàng)）之間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式叫做 ??na 的 遞推公式． 說明： 遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法 。 如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列： 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 遞推公式為：)83(,5,3 2121 ?????? ?? naaaaa nnn （ 2）數(shù)列的前 n 項(xiàng)的和 數(shù)列 ??na 中， naaaa ???? ?321 稱為數(shù)列 ??na 的前 n項(xiàng)和，記為 nS . 1S 表示前 1項(xiàng)之和： 1S = 1a 2S 表示前 2項(xiàng)之和： 2S = 21 aa? ?? 1?nS 表示前 n1項(xiàng)之和： 1?nS = 1321 ????? naaaa ? nS 表示前 n項(xiàng)之和： nS = naaaa ???? ?321 . ∴當(dāng) n≥ 1時(shí) nS 才有意義；當(dāng) n1≥ 1即 n≥ 2時(shí) 1?nS 才有意義 . （ 3） nS 與 na 之間的關(guān)系 ： 由 nS 的定義可知，當(dāng) n=1 時(shí)， 1S = 1a ；當(dāng) n≥ 2 時(shí)， na = nS 1?nS ，即11( 1 )( 2 )n nnSna S S n???? ? ???注意驗(yàn)證 1n? 的情況． 證明： 顯然 1?n 時(shí) ， 11 Sa? 當(dāng) 1?n 即 2?n 時(shí) nn aaaS ???? ?21 ，1211 ?? ???? nn aaaS ? ∴ nnn aSS ?? ?1 ∴????? ?11S SSa nnn )1( )2( ??nn 注意 ： （ 1） 此法可作為常用公式 ；（ 2） 當(dāng) )( 11 Sa ? 時(shí) 滿足 1?? nn SS 時(shí)，則1??? nnn SSa （ 4）數(shù)列的單調(diào)性： 設(shè) D 是由連續(xù)的正整數(shù)構(gòu)成的集合，若對(duì)于 D 中的每一個(gè) n 都有 nn aa ??1 （或nn aa ??1 ），則數(shù)列 }{na 在 D 內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減） . （ 5）兩 個(gè)重要的變換： ① )。()()( 123121 ????????? nnn aaaaaaaa ? ② .123121?????? nnn aaaaaaaa ? 注意 ： 1．求數(shù)列的通項(xiàng)公式與求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和是數(shù)列的兩個(gè)最基本問題，解決問題時(shí)必須特別仔細(xì)地計(jì)算項(xiàng)數(shù)，弄錯(cuò)一項(xiàng)將全題盡毀 . 2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性是探索數(shù)列的特點(diǎn)，特別是求數(shù)列的最大、小項(xiàng)的重要方法，若想用高等方法討論數(shù)列的單調(diào)性，不能直接對(duì) )(nfan ? 求導(dǎo)，應(yīng)先對(duì)函數(shù) )(xfy? 求導(dǎo)， 然后再分析 )(nf 的單調(diào)性 . 3． na 與 nS 的關(guān)系式是解決數(shù)列的問題中使用率非常高的公式，任何時(shí)候使用這個(gè)公式都必須從“ 2?n ”開始討論，千萬不要錯(cuò)了一項(xiàng) . 4．上面提到了兩個(gè)重要變換是解決數(shù)列問題中經(jīng)常使用的兩個(gè)變換 . 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例 1設(shè)數(shù)列 ??na 滿足 11111 ( 1).nnaana????? ? ? ???寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。 解：分析：題中已給出 ??na 的第 1項(xiàng)即 11?a ，遞推公式：111??? nn aa 解：據(jù)題意可知：3211,211,1 23121 ??????? aaaaa，58,3511 534 ???? aaa 變題： 已知數(shù)列 ??na 的首項(xiàng)1 112 , 1( 1)n na a na ?? ? ? ?，求出這個(gè)數(shù)列的第 5 項(xiàng) .（學(xué)生口答） 例 2已 知數(shù)列 ??na 中， naaaaa nnn (3,2,1 2121 ?? ???? ≥ 3），試寫出數(shù)列的前 4項(xiàng) 解：由已知得 233,73,2,1 23412321 ???????? aaaaaaaa 變題： 若數(shù)列 ??na 中， 1 1a? ， 2 4a? ，且各項(xiàng)滿足 212n n na a a????，則 26 是該數(shù)列的第幾 項(xiàng)？ 例 3已知 21?a ， nn aa 21 ?? 寫出前 5項(xiàng)，并猜想 na ． 法一： 21?a 22 222 ???a 323 222 ???a
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