蘇教版必修5高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列章末知識(shí)整合(編輯修改稿)
2025-01-10 00:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 求得 {an}的通項(xiàng)公式．新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列．例如形如 an＝ pan－ 1＋ q(p， q 為常數(shù) )的形式 ， 往往變?yōu)?an－ λ ＝ p(an－ 1－ λ )， 構(gòu)成等比數(shù)列 ， 求 an－ λ 通項(xiàng)公式 ， 再求 an. ?變式遷移 5． 已知數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 2， an＋ 1＝ 3an－ 2， 求 an. 解析： 由 an＋ 1＝ 3an－ 2， 設(shè) an＋ 1＋ k＝ 3(an＋ k)， 其中 k 是待定系數(shù) ， 即 an＋ 1＝ 3an＋ 2k與條件進(jìn)行對(duì)比 ， 得 2k＝－ 2， ∴ k＝－ an＋ 1－ 1＝ 3(an－ 1)， ∴ {an－ 1}是 2－ 1＝ 1為首項(xiàng) ， 公比為 3的等比數(shù)列． ∴ an－ 1＝ 13 n－ 1. ∴ an＝ 3n－ 1＋ 1(n∈N *)． 題型 2 數(shù)列的求和 一、公式法 例 6 (1)求 1＋ 4＋ 7＋ ? ＋ (3n＋ 1)的值； (2)若數(shù)列 {xn}滿足 logaxn＋ 1＝ 1＋ logaxn(n∈N *， a＞ 0， 且 a≠1) 且 x1＋ x2＋ x3＋ ? ＋ x100＝ 100， 求 x101＋ x102＋ ? ＋ x200的值． 分析： (1)中 1， 4， 7， ? ， 3n＋ 1是個(gè)等差數(shù)列 ， 但容易這樣求解： Sn＝ n[1＋（ 3n＋ 1） ]2＝ 3n22 ＋ ， 錯(cuò)在沒搞清此數(shù)列有多少項(xiàng)． (2)可以作個(gè)變換 logaxn＋ 1－ logaxn＝logaxn＋ 1xn＝ 1， 推導(dǎo)出 {xn}是等比數(shù)列再求解． 解析： (1)∵ 數(shù) 列中 30 ＋ 1＝ 1， ∴ 第 1項(xiàng) 1是 n＝ 0時(shí)得到的． ∴ 此數(shù) 列是首項(xiàng)為 1， 末項(xiàng)為 3n＋ 1， 項(xiàng)數(shù)為 n＋ 1的等差數(shù)列． ∴ Sn＝ （ n＋ 1） [1＋（ 3n＋ 1） ]2 ＝ 3n22 ＋5n2 ＋ 1. (2)由 logaxn＋ 1＝ 1＋ logaxn得 logaxn＋ 1－ logaxn＝ 1， ∴ logaxn＋ 1xn＝ 1. ∴ xn＋ 1xn＝ a. ∴ 數(shù)列 {xn}是公比為 a的等 比數(shù)列． 由等比數(shù)列的性質(zhì)得： x101＋ x10 2＋ ? ＋ x200＝ (x1＋ x2＋ ? ＋ x100)a100＝ 100 a100. ?歸納拓展 數(shù)列求和常用的公式有： 等差數(shù)列： Sn＝ n（ a1＋ an）2 ＝ na1＋ n（ n－ 1）2 d； 等比數(shù)列： Sn＝?????na1， q＝ 1，a1（ 1－ qn）1－ q ＝a1－ anq1－ q ， q≠ 1； ?k＝ 1nk＝ 1＋ 2＋ 3＋ ? ＋ n＝ 12n(n＋ 1)； ?k＝ 1nk2＝ 12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2＝ 16n(n＋ 1)(2n＋ 1)． ?變式遷移 6． 設(shè) {an}為等比數(shù)列 ， {bn}為等差數(shù)列 ， 且 b1＝ 0， ＝ an＋ bn， 若 {}是 1， 1， 2， ? ，求 {}的前 10項(xiàng)之和． 解析： 設(shè) {an}的首項(xiàng)為 a， 公比為 q， {bn}首項(xiàng)為 b， 公差為 d， b1＝ 0， 由 c1＝ a1＋ b1＝ 1，知 a1＝ 1. c2＝ a2＋ b2＝ q＋ d＝ 1， c3＝ a3＋ b3＝ q2＋ 2d＝ 2， 解得 q＝ 2， d＝－ 1， ∴ an＝ 2n－ 1(n∈N *)， bn＝ 1－ n(n∈N *)． ∴ ＝ 2n－ 1＋ (1－ n)(n∈ N*)． ∴ {} 前 10 項(xiàng) 和 為 a1 ＋ a2 ＋ ? ＋ a10 ＋ (b1 ＋ b2 ＋ ? ＋ b10) ＝ 1－ 2101－ 2 ＋??????10 0＋ 1092 （－ 1） ＝ 978. 二、分組求和法 例 7 求和： ??? ???x＋ 1x2＋ ??? ???x2＋ 1x22＋ ? ＋ ??? ???xn＋ 1xn2. 分析： 此數(shù)列的通項(xiàng)公式是 an＝ ??? ???xn＋ 1xn2＝ x2n＋ 2＋ 1x2n， 而數(shù)列 {x2n}， ????? ?????1x2n 是等比數(shù)列 ，2是常數(shù) ， 故采用分組求和法． 解析： 當(dāng) x≠177。1 時(shí) ， Sn＝ ??? ???x2＋ 2＋ 1x2 ＋ ??? ???x4＋ 2＋ 1x4 ＋ ? ＋ ??? ???x2n＋ 2＋ 1x2n ＝ (x2＋ x4＋ ? ＋ x2n)＋ ??? ???1x2＋ 1x4＋ ? ＋ 1x2n ＋ 2n ＝ x2（ x2n－ 1）x2－ 1 ＋x－ 2（ 1－ x－ 2n）1－ x－ 2 ＋ 2n ＝ （ x2n－ 1）（ x2n＋ 2＋ 1）x2n（ x2－ 1） ＋ 2n. 當(dāng) x＝ 177。1 時(shí) ， Sn＝ 4n. 綜上 ， Sn＝?????4n， x＝ 177。1 ，（ x2n－ 1）（ x2n＋ 2＋ 1）x2n（ x2－ 1） ＋ 2n， x≠177。 1. ?歸納拓展 將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng) ， 然后重新分組 ， 將一般數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問題 ， 運(yùn)用的是化歸的數(shù)學(xué)思想 ， 通項(xiàng)變形是這種方法的關(guān)鍵． ?變式遷移 7． 已知數(shù)列 {an}的 通項(xiàng)公式為 an＝ n(n＋ 1)， 求 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn. 解析： an＝ n(n＋ 1)＝ n＋ n2(n∈N *)， ∴ Sn＝ (1＋ 2＋ 3＋ ? ＋ n)＋ (12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2)＝ n（ n＋ 1）2 ＋ n（ n＋ 1）（ 2n＋ 1）6 ＝n（ n＋ 1）（ n＋ 2）3 . 三、裂項(xiàng)相消法 例 8 求數(shù)列 112＋ 2＋ 122＋ 4＋ 132＋ 6＋ 142＋ 8＋ ? ＋ 1n2＋ 2n的前 n項(xiàng)和． 分 析： 通項(xiàng) an＝ 1n2＋ 2n＝ 1n（ n＋ 2） ＝ 12??? ???1n－ 1n＋ 2 ， 所以可以使用裂項(xiàng)相消法． 解析： ∵
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1