蘇教版必修5高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列章末知識(shí)整合(存儲(chǔ)版)
【正文】 以上 (n－ 1)個(gè)式子相加 ， 得 an－ a1＝ 31＋ 32＋ ? ＋ 3n－ 1. ∴ an＝ 3n－ 12 . ∵ n＝ 1時(shí) ， a1＝ 31－ 12 ＝ 1， ∴ an＝3n－ 12 (n∈N*)． ?歸納拓展 (1)對(duì) n＝ 1時(shí) ， 檢驗(yàn) a1 ＝ 1是否滿足 an＝ 3n－ 12 是必要的 ， 否則就要寫(xiě)成分段函數(shù) 的形式． (2)如果給出數(shù)列 {an}的遞推公式為 an＝ an－ 1＋ f(n)型 ， 并且 {f(n)}容易求和 ， 這時(shí)可采用疊加法． 對(duì) n＝ 1檢驗(yàn)是必要的 ， 否則就要寫(xiě)成分段函數(shù) 的形式 ， 這里說(shuō)的 f(n)易求和 ， 指的是f(n)的形式為等差數(shù)列前 n項(xiàng)和、等比數(shù)列前 n項(xiàng)和 ， 或是常見(jiàn)的特殊公式 ， 如 12＋ 22＋ 32＋ ? ＋ n2＝ n（ n＋ 1）（ 2n＋ 1）6 等． ?變式遷移 3． 已知數(shù)列 {an}滿足 an＋ 1＝ an＋ n2， 且 a1＝ 1， 求 {an}的通項(xiàng)公式． 解析： ∵ an＋ 1＝ an＋ n2， ∴ an＋ 1－ an＝ n2. ∴?????a2－ a1＝ 12，a3－ a2＝ 22，?an－ an－ 1＝（ n－ 1） 2.疊加即得 an－ a1＝ 12＋ 22＋ ? ＋ (n－ 1)2＝ （ n－ 1） n（ 2n－ 1）6 ， ∴ an＝ 16n(n－ 1)(2n－ 1)＋ 1(n∈N *)． 四、疊乘法 例 4 在數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 2， an＋ 1＝ n＋ 2n an， 求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 an. 分析： 由 an＋ 1＝ n＋ 2n an?an＋ 1an＝ n＋ 2n 知 ， 已 知條件屬于 an＋ 1an＝ f(n)型遞推公式 ， 所以用疊乘法求出 an. 解析： 由 a1＝ 2， an＋ 1＝ n＋ 2n an， ∴ an＋ 1an＝ n＋ 2n . 取 n＝ 1， 2， 3， ? ， n－ 1得 a2a1＝31，a3a2＝42，a4a3＝53， ? ， an－ 1an－ 2＝nn－ 2，anan－ 1＝n＋ 1n－ 1. 把上述各式兩邊分別相乘 ， 得： a2a1a3a2a4a3?an－ 1an－ 2anan－ 1＝314253?nn－ 2n＋ 1n－ 1， ∴ ana1＝ n（ n＋ 1）2 .∴ an＝ n（ n＋ 1）2 a1， 即 an＝ n(n＋ 1)． 當(dāng) n＝ 1時(shí) ， a1＝ 2適合上式． 故 an＝ n(n＋ 1)(n∈N *)． ?歸納拓展 如果數(shù)列 {an}的遞 推公式為 an＋ 1an＝ f(n)型時(shí) ， 并且 {f(n)}容易求前 n 項(xiàng)的積 ， 這時(shí)可采用疊 乘法．疊乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消情況． ?變式遷移 4． 在數(shù)列 {an}中 ， 已知 a1＝ 14， an＋ 1＝ 2nan， 求 an. 解析： 由 an＋ 1＝ 2nan得 an＋ 1an＝ 2n， ∴ a2a1＝ 21， a3a2＝ 22， ? ， anan－ 1＝ 2n－ ana1＝ 22 2 ? 2n－ 1＝ 2n（ n－ 1）2 ， ∴ an＝ 2n（ n－ 1）2 14＝ 2n2－ n－ 42 (n∈N *)． 五、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法 例 5 已知數(shù)列 {an}中 a1＝ 1， an＋ 1＝ 2anan＋ 2， 則通項(xiàng)公式 an＝ ________． 分析： 通過(guò)觀察給出的遞推公式可以發(fā)現(xiàn)兩邊取倒數(shù)可以得到 1an＋ 1與 1an的關(guān)系 ， 也可以將式子乘開(kāi)得到 an＋ 1an＋ 2an＋ 1＝ 2an兩邊同 時(shí)除以 2anan＋ 1， 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解． 解析： 方法一 將 an＋ 1＝ 2anan＋ 2兩邊取倒數(shù) ， 得 1an＋ 1 ＝ an＋ 22an＝ 12＋ 1an， ∴ 1an＋ 1－ 1an＝ 12. ∴ 數(shù)列 ????? ?????1an是首項(xiàng)為 1a1＝ 1， 公差為 12的等差數(shù)列． ∴ 1an＝ 1＋ (n－ 1) 12＝ n＋ 12 .∴ an＝ 2n＋ 1(n∈N *)． 方法二 (1)∵ an＋ 1＝ 2anan＋ 2， ∴ an＋ 1(an＋ 2)＝ 2an. ∴ an＋ 11 時(shí) ， Sn＝ ??? ???x2＋ 2＋ 1x2 ＋ ??? ???x4＋ 2＋ 1x4 ＋ ? ＋ ??? ???x2n＋ 2＋ 1x2n ＝ (x2＋ x4＋ ? ＋ x2n)＋ ??? ???1x2＋ 1x4＋ ? ＋ 1x2n ＋ 2n ＝ x2（ x2n－ 1）x2－ 1 ＋x－ 2（ 1－ x－ 2n）1－ x－ 2 ＋ 2n ＝ （ x2n－ 1）（ x2n＋ 2＋ 1）x2n（ x2－ 1） ＋ 2n. 當(dāng) x＝ 177。 12n＋ 1， ∴ Sn＝ 2－ 12n－ 1－ n2n. ?歸納拓展 若數(shù)列 {an}是等差數(shù)列 ， 數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列 ， 由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成 的新數(shù)列為 {anbn}， 當(dāng)求該數(shù)列前 n項(xiàng)和時(shí) ， 常常采用將 {anbn}的各項(xiàng)乘 以公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)與 {anbn}的同項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減 ， 即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和 ， 這種求和的方法稱為錯(cuò)位相減法． ?變式遷移 9． 求和： Sn＝ 12 ＋ 42 2＋ 72 3＋ ? ＋ (3n－ 2)2 n. 解析： ∵ Sn＝ 12 ＋ 42 2＋ 72 3＋ ? ＋ [3(n－ 1)－ 2]2 n－ 1＋ (3n－ 2)2 n， ① 2Sn＝ 12 2＋ 42 3＋ ?＋ [3(n－ 1)－ 2]2 n＋ (3n－ 2)2 n＋ 1， ② ∴① － ② 得 － Sn＝ 1
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1