高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)列(編輯修改稿)
2025-05-04 03:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 應(yīng)予掌握。課本P137復(fù)習(xí)參考題三B組題第6題為：求和：S=1+2x+3x2+…+nxn1；2003年北京高考理工類第(16)題：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(II)令bn=anxn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式。都貫穿了“錯(cuò)項(xiàng)相減”方法的應(yīng)用。 高階等差數(shù)列一、基本知識(shí)：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列{an}，把它的連結(jié)兩項(xiàng)an+1與an的差an+1an記為bn，得到一個(gè)新數(shù)列{ bn}，把數(shù)列bn你為原數(shù)列{an}的一階差數(shù)列，如果=bn+1bn，則數(shù)列{}是{an}的二階差數(shù)列依此類推，可得出數(shù)列{an}的p階差數(shù)列，其中p206。N，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列：(1)如果數(shù)列{an}是p階等差數(shù)列，則它的一階差數(shù)列是p1階等差數(shù)列(2)數(shù)列{an}是p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{an}的通項(xiàng)是關(guān)于n的p次多項(xiàng)式(3) 如果數(shù)列{an}是p階等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的p+1次多項(xiàng)式，更深層次的問題是差分方程的求解，解決問題的基本方法有：(1)逐差法：其出發(fā)點(diǎn)是(2)待定系數(shù)法：在已知階數(shù)的等差數(shù)列中，其通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn是確定次數(shù)的多項(xiàng)式(關(guān)于n的)，先設(shè)出多項(xiàng)式的系數(shù)，再代入已知條件解方程組即得(3)裂項(xiàng)相消法：其出發(fā)點(diǎn)是an能寫成an=f(n+1)f(n)(4)化歸法：把高階等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為易求的同階等差數(shù)列或低階等差數(shù)列的問題，達(dá)到簡化的目的二、例題精講{an}的二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16，且a63=a89=10，求a51解：法一：顯然{an}的二階差數(shù)列{bn}是公差為16的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a,則bn=a+(n1)16,于是 這是一個(gè)關(guān)于n的二次多項(xiàng)式，其中n2的系數(shù)為8，由于a63=a89=10,所以an=8(n63)(n89)+10，從而a51=8(5163)(5189)+10=3658解：法二：由題意，數(shù)列{an}是二階等差數(shù)列，故其通項(xiàng)是n的二次多項(xiàng)式，又a63=a89=10，故可設(shè)an=A(n63)(n89)+10由于{an}是二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16，所以(a3a2)(a2a1)=16即a32a2+a1=16，所以A(363)(389)+102[A(263)(289)+10]+A(163)(189)+10=16解得：A=8an=8(n63)(n89)+10，從而a51=8(5163)(5189)+10=3658{an}的前4項(xiàng)依次為30,72,140,240，求其通項(xiàng)公式解：由性質(zhì)(2)，an是n的三次多項(xiàng)式，可設(shè)an=An3+Bn2+Cn+D由a1=a2=7a3=1a4=240得 解得： 所以an=n3+7n2+14n+8{an}適合條件：(1)an+2=3an+13an+an1,n=2,3,4,…(2)2a2=a1+a32(3)a5a4=9,a1=1求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn解：設(shè)bn=an+1an,Cn=bn+1bnCn=bn+1bn= (an+2an+1)( an+1an)=an+22an+1+an=(3an+13an+an1) 2an+1+an=an+12an+an1=Cn1 (n=2,3,4,…)所以{ Cn}是常數(shù)列由條件(2)得C1=2,則{an}是二階等差數(shù)列因此由條件(3)知b4=9，從而b1=3，于是an=n2：二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為證明：設(shè){an}的一階差數(shù)列為{bn}，二階差數(shù)列為{}，由于{an}是二階等差數(shù)列，故{}為常數(shù)列又c1=b2b1=a32a2+a1所以,3+5+7,9+11+13+15+17,…的通項(xiàng)解：問題等價(jià)于：將正奇數(shù)1,3,5,…按照“第n個(gè)組含有2n1個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組： (1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17),… 然后求第n組中各數(shù)之和an依分組規(guī)則，第n組中的數(shù)恰好構(gòu)成以2為公差的項(xiàng)數(shù)為2n1的等差數(shù)列，因而確定了第n組中正中央這一項(xiàng)，然后乘以(2n1)即得an將每一組的正中央一項(xiàng)依次寫出得數(shù)列：1,5,13,25,…這個(gè)數(shù)列恰為一個(gè)二階等差數(shù)列，不難求其通項(xiàng)為2n22n+1，故第n組正中央的那一項(xiàng)為2n22n+1，從而an=(2n2n+1)(2n1){an}的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求{an}的通項(xiàng)公式解：易算出{an}的二階差數(shù)列{}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,則=2n,{an}的一階差數(shù)列設(shè)為{bn}，則b1=1且 從而 ，若將這張紙剪成一邊長為別為1厘米、3厘米、…、(2n1)厘米的
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