河北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(編輯修改稿)
2025-02-04 21:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ) 1f ? 矛盾； 若 (1) 3f ? ，則 [ (1)] (3) 3f f f??，與 “ ()fx在 (0, )?? 上單調(diào)遞增 ”矛盾； 若 (1) 4f ? ，則 [ (1)] (4) 3f f f??，也與 “ ()fx在 (0, )?? 上單調(diào)遞增 ”矛盾． 故選 B． 二、填空題 （本大題共 6 小題，每小題 9 分，滿分 54 分） 7 ． 設(shè) 集合 ? ?1 2 15S? ， ， ， ? ?1 2 3A a a a? ， ， 是 S 的子集，且 ? ?1 2 3a a a， 滿足：1 2 31 15a a a?? ， 326aa??，那么滿足條件的子集的個(gè)數(shù)為 ． 答案 ： 371． 解： 當(dāng) 229a??時(shí)， ? ?12,aa 有 29C 種選擇方法， 3a 有 6 種選擇 方法 ， 所以 ? ?1 2 3,a a a 共有 296 216C?? 種選擇方法 ； 當(dāng) 210 14a??時(shí)，一旦 2a 取定 ， 1a 有 2 1a? 種選擇方法 ， 3a 有215a? 種 選 擇 方 法 ， 所 以 選 擇 ? ?1 2 3,a a a 的 方 法 有 ? ? ? ?2142210 1 1 5 9 5 1 0 4 1 1 3 1 2 2 1 3 1 1 5 5a aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??種． 第 6 頁(yè) 共 12 頁(yè) 綜上， 滿足條件的子集 共有 371 個(gè)． 8． 已知數(shù)列 }{na 滿足 ,01?a ),2,1(1211 ??????? naaa nnn ，則 na =___ . 答案 ： 12 ??nan ． 解 ： 由已知 得 21 )11(11211 ?????????? nnnn aaaa ，且 01??na ． 所以 1111 ????? nn aa ，即 { ?na }是首項(xiàng) 、 公差 均 為 1 的等差數(shù)列，所以1?na =n， 即有 12 ??nan . 9． 已知坐標(biāo) 平面上三點(diǎn) ? ? ? ? ? ?0 , 3 , 3 , 0 , 3 , 0A B C? ， P 是坐標(biāo)平面上 的 點(diǎn)，且PA PB PC??，則 P 點(diǎn)的軌跡方程為 ． 答案： ? ? ? ?041 22 ???? yyx . 解 ： 如圖，作正三角形 PCD ， 由于 ABC? 也是正三角形，所以可證得 ACP? ≌ BCD? ，所以 BD AP? ． 又因?yàn)?BD PB PC PB PD? ? ? ?，所以點(diǎn) DPB , 共線 ． CBP PAC? ? ? ， 所以 P 點(diǎn) 在 ABC? 的外接圓上，又 因?yàn)?PA PB PA PC??， 所以所求的軌跡方程為 ? ? ? ?041 22 ???? yyx ． 10． 在三 棱錐 ABCS? 中， 4?SA ， 7?SB ， 9?SC ， 5?AB ， 6?BC ， 8?AC ．則三 棱錐 ABCS? 體積的最大值 為 ． 答案： 86. 解 ： 設(shè) SAB ???， 根據(jù)余弦定理有 2 2 2 2 2 24 5 7 1c o s 2 2 4 5 5S A A B S BS A A B? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 故 2 26s in 1 c o s 5??? ? ?， 1 s in 4 62S A BS S A A B ?? ? ? ? ?． 由于棱錐的高不超過(guò)它的側(cè)棱長(zhǎng)，所以 1 863C S A B S A BV S B C??? ? ?.事實(shí)上，取 7?SB ， 6?BC 且 CB SAB? 平 面 時(shí) ，可以 驗(yàn)證 滿足已知條件， 此時(shí) 68?SABCV ， 棱錐的體積 可以 達(dá)到最大 ． A C P D B 第 7 頁(yè) 共 12 頁(yè) 11． 從 m 個(gè)男生， n 個(gè)女生（ 10 4mn? ? ? ）中任選 2 個(gè)人當(dāng)組長(zhǎng)，假設(shè) 事件 A 表示選出的 2 個(gè)人性別相同， 事件 B 表示選出的 2 個(gè)人性別不同．如果 A 的概率和 B 的概率相等，則（ m， n）的可能值為 ． 答案 :（ 10， 6） . 解 ： ? ? ? ?2 2 1 122,m n m nm n m nC C C CP A P BCC?????，由于 ? ? ? ?P A P B? ，所以 2 2 1 1m n m nC C C C?? ，整理得? ?2m n m n? ? ?．即 mn? 是完全平方數(shù)，且 9 19mn? ? ? ，因此 93mnmn???? ???， 164mnmn???? ???，解得 63mn??? ??（不合條件） ， 106mn??? ??. 所以 ? ? ? ?, 10,6mn ? ． 12． ,OAB 是平面上不共線三點(diǎn)，向量 aOA?? ， OB b? ，設(shè) P 為 線段 AB 垂直平分線上 任 意 一 點(diǎn) ， 向 量 pOP ?? ．若 | |5a? ， | | 3b? ，則 )( bap ??? ?? 的值是 ____ ____． 答案 :8． 解 ： 如圖 ,QP 是線段 AB 的垂直平分線， OP OQ QP??， ? ?12OQ a b??， QP BA? ， ( ) ( )p a b O Q Q P B A O Q B A Q P B A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11( ) ( ) 822a b a b a b??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 三、解答題 （本大題共 5 小題，每題的解答均要求有推理過(guò)程， 13 小題 10 分 ,17 小題 14 分 ,其余每小題 12 分，滿分 60 分） 13． ba, 是 兩個(gè) 不相等的正數(shù)，且滿足 2233 baba ??? ，求所有可能的整數(shù) c,使得 abc 9? . 解 ：由 2233 baba ??? 得 bababa ???? 22 ,所以 0)()( 2 ????? babaab ,
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