20xx年全國高中數學聯合競賽試題及解析蘇教版(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內容簡介】 時的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心．因答12圖1 ，故，從而．記此時小球與面的切點為，連接，則．考慮小球與正四面體的一個面(不妨取為)相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2．記正四面體的棱長為，過作于．答12圖2 因，有，故小三角形的邊長．小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分）． 又，所以．由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內壁的面積共為．三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13．已知函數的圖像與直線 有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為，求證： 答13圖 ?。甗證] 的圖象與直線 的三個交點如答13圖所示，且在內相切，其切點為，．…5分 由于，所以，即． …10分因此 …15分 ． …20分14．解不等式．[解法一] 由，且在上為增函數，故原不等式等價于． 即 ． …5分分組分解 ， …10分所以 ， ?。? …15分所以，即或．故原不等式解集為． …20分[解法二] 由，且在上為增函數，故原不等式等價于． …5分即， ， …10分令，則不等式為， 顯然在上為增函數，由此上面不等式等價于 ， …15分即，解得 (舍去)，故原不等式解集為． …20分題15圖15．如題15圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內切于，求面積的最小值．[解] 設，不妨設．直線的方程:，化簡得 ．又圓心到的距離為1， ， …5分故，易知，上式化簡得， 同理有． …10分所以，則．因是拋物線上的點，有，則 ，． …15分所以 ?。敃r，上式取等號，此時．因此的最小值為8．
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