20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及解析蘇教版(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x－1=0，222。x=－1，x=．∴ x=177。．7．寫(xiě)出并證明立體幾何中的“三垂線定理”．證明：略(見(jiàn)課本)8．設(shè)△ABC三內(nèi)角成等差數(shù)列，三條對(duì)應(yīng)邊a、b、c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試求A、B、C．解：B=60176。，+=，222。sin60176。(sinA＋sinC)=2sinAsinC，222。2cos(A－C)－3cos＋1=0，令x=cos，得4x2－3x－1=0，x=1，x=－ (舍)∴ A=B=C=60176。.9．已知一點(diǎn)P(3，1)及兩直線l1：x+2y+3=0，l2：x+2y=7=0，試求通過(guò)P點(diǎn)且與ll2相切的圓的方程．解：兩直線距離==2，圓心在直線x＋2y－2=0上．設(shè)圓方程為(x－2＋2b)2＋(y－b)2=5，222。(3－2＋2b)2＋(1－b)2=5，222。1＋4b＋4b2＋1－2b＋b2=5，222。5b2＋2b－3=0，b=－1，b=．∴ 所求圓方程為(x－4)2＋(y＋1)2=5；(x－)2＋(y－)2=5．10．已知銳角三角形的三邊a、b、c滿足不等式abc，問(wèn)四個(gè)頂點(diǎn)都在三角形邊上的三個(gè)正方形哪個(gè)最大？證明你的結(jié)論．解：此正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，故必有一邊在三角形的邊上．設(shè)a、b、c邊上的高分別為ha、hb、hc，且立于a邊上正方形邊長(zhǎng)為x，則=，aha=(a＋ha)x，x==．現(xiàn)aha=bhb=2S，ab，于是a＋ha－(b＋hb)=(a－b)＋(－)=(a－b)(1－)=(a－b)(1－sinC)0.∴ a＋hab＋hbc＋hc．∴ 立于c邊上的正方形最大．第二試1．已知f(x)=x2－6x+5，問(wèn)滿足f(x)+f(y)≤0和f(x)－f(y)≥0的點(diǎn)(x，y)在平面上的什么范圍內(nèi)？并畫(huà)圖．解：f(x)+f(y)≤0，222。x2－6x+5+y2－6y+5≤0，222。(x－3)2+(y－3)2≤8，表示以(3，3)為圓心，2為半徑的圓及圓內(nèi)部分．f(x)－f(y)≥0，222。x2－6x－y2+6y≥0，222。(x－3)2－(y－
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