20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版10(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2－1989 B．－1 C．1 D．以上答案都不對解：=ω或ω2，其中ω=cos120176。+isin120176。．1+ω+ω2=0．且ω3=1．若=ω，則得()1990+()1990=－1．若=ω2，則得()1990+()1990=－1．選B．6．已知橢圓+=1(ab0)通過點(2，1)，所有這些橢圓上滿足|y|1的點的集合用陰影表示是下面圖中的( )解：+=1，由a2b2，故得1+=，1b．+=1222。1，a25．故選C．二．填空題(本題滿分30分，每小題5分)1．設(shè)n為自然數(shù)，a、b為正實數(shù)，且滿足a+b=2，則 +的最小值是 ．解：ab≤()2=1，從而anbn≤1，故 + = ≥1．等號當且僅當a=b=1時成立．即所求最小值=1．2．設(shè)A(2，0)為平面上一定點，P(sin(2t－60176。)，cos(2t－60176。))為動點，則當t由15176。變到45176。時，線段AP掃過的面積是 ．解：點P在單位圓上，sin(2t－60176。)=cos(150176。－2t)，cos(2t－60176。)=sin(150176。－2t).當t由15176。變到45176。時，點P沿單位圓從(－，)運動到(,)．線段AP掃過的面積=扇形面積=π．3．設(shè)n為自然數(shù)，對于任意實數(shù)x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值是 ．解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)．等號當且僅當x=y=z時成立．故n=3．4．對任意正整數(shù)n，連結(jié)原點O與點An(n，n+3)，用f(n)表示線段OAn上的整點個數(shù)(不計端點)，試求f(1)+f(2)+…+f(1990)．解 線段OAn的方程為y=x(0≤x≤n)，故f(n)等于該線段內(nèi)的格點數(shù)．若n=3k(k∈N+)，則得y=x (0≤x≤n)(k∈N*)，其內(nèi)有兩個整點(k，k+1)，(2k，2k+2)，此時f(n)=2；若n=3k177。1(k∈N+)時，則由于n與n+3互質(zhì)，故OAn內(nèi)沒有格點，此時f(n)=0．∴ f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[]=1326．5．設(shè)n=1990，則 (1－3C+32C－33C+…+3994C－3995C= ．解：取(－+i)1990展開的實部即為此式．而(－+i)1990=－+i．故原式=－．6．8個女孩與25個男孩圍成一圈，任何兩個女孩之間至少站兩個男孩，則共有 種不同和排列方法．(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就能重合的排法認為是相同的)．解：每個女孩與其后的兩個男孩組成一組，共8組，與余下9個男孩進行排列，某個女孩始終站第一個位子，其余7組在8+9－1個位子中選擇7個位子，得C=C種選法．7個女孩可任意換位，25個男孩也可任意換位，故共得C?7!?25!種排列方法．三．(本題滿分20分)已知a，b均為正整數(shù)，且ab，sinθ=，(其中0θ)，An=(a2+b2)nsinnθ．求證：對于一切自然數(shù)n，An均為整數(shù)．證明：由sinθ=，得cosθ=．記An=(a2+b2)ncosnθ．當a、b均為正整數(shù)時，A1=2ab 、B1=a2－b2均為整數(shù)．A2=4ab(a2－b2)，B2=2(a2－b2)2－(a2+b2)2也為整數(shù)．若Ak=(a2+b2)ksinkθ、Bk=(a2+b2)kcoskθ均為整數(shù)，則Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)θ=(a2+b2)k+1sinkθc
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