20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)為N，BD的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，求證：直線PQ平分線段AC．證明：連NP，取AC中點(diǎn)O，則由于N、P分別為CD、BD中點(diǎn)，故NP∥AB，NP=BC=(AB－AC)=AM=AO=OM．∴ NPMO為平行四邊形．即PO經(jīng)過(guò)MN中點(diǎn)Q．即直線PQ平分線段AC．7．證明：當(dāng)n、k都是給定的正整數(shù)，且n2，k2時(shí)，n(n－1)k－1可以寫成n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和．解：設(shè)開始的一個(gè)偶數(shù)為2m，則此n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和為(2m+…+2m+2n－2)n247。2=n(2m+n－1)．令n(n－1)k－1= n(2m+n－1)，則(n－1)k－1－(n－1)=2m．無(wú)論n為偶數(shù)還是奇數(shù)，(n－1)k－1－(n－1)均為偶數(shù)，故m=[(n－1)k－1－(n－1)]為整數(shù)．∴ 從(n－1)k－1－(n－1)開始的連續(xù)n個(gè)偶數(shù)的和等于n(n－1)k－1．由于n、k給定，故(n－1)k－1－(n－1)確定．故證．8．證明：頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形的三個(gè)角的余弦的和小于該三角形的周長(zhǎng)之半．解：設(shè)此三角形三個(gè)角為A、B、C，則其三邊長(zhǎng)分別為2sinA，2sinB，2sinC．本題即證明 cosA+cosB+cosCsinA+sinB+sinC．由于A＋B90176。，故90176。A90176。－B0，222。sinAsin(90176。－B)=cosB，同理，sinBcosC，sinCcosA，三式相加，即得證．9．已知直線l1：y=4x和點(diǎn)P(6，4)，在直線l1上求一點(diǎn)Q，使過(guò)PQ的直線與直線l1以及x軸在第Ⅰ象限內(nèi)圍成三角形面積最?。猓涸O(shè)Q(a，4a)，(a1)則直線PQ方程為y－4=(x－6)，令y=0，得x=6－=．∴ S=4a==10(a+1+)=10(a－1++2)≥10(2+2)=40．當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)S取得最小值．即所求點(diǎn)為Q(2，8)．10．求方程組的整數(shù)解．解：x3＋y3＋z3－3xyz=(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－y
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