20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版-資料下載頁
2025-01-25 05:28本頁面
【正文】 D的面積≤EG?HF≤(AB+CD)? (AD+BC)．5．設(shè)有十人各拿提桶一只到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第i(i=1，2，…，10)個(gè)人的提桶需時(shí)Ti分鐘，假定這些Ti各不相同，問：(Ⅰ) 當(dāng)只有一個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間(包括各人自己接水所花時(shí)間)為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)(Ⅱ) 當(dāng)有兩個(gè)水龍頭可用時(shí)，應(yīng)如何安排這十個(gè)人的次序，使你們的總的花費(fèi)時(shí)間為最少？這時(shí)間等于多少？(須證明你的論斷)解：當(dāng)只有1個(gè)水龍頭可用時(shí)，所需時(shí)間為10T1+9T2+8T3+…+T10，若當(dāng)1≤ij≤10時(shí)，TiTj，則其余人不動(dòng)，交換第i個(gè)人與第j個(gè)人的次序，則所需時(shí)間改變量10T1+…+(11－i)Ti+…+(11－j)Tj+…+T10－(10T1+…+(11－i)Tj+…+(11－j)Ti+…)=(11－i)(Ti－Tj)+(11－j)(Tj－Ti)=(Tj－Ti)(i－j)0．即這樣交換后，所需時(shí)間變少．∴ 應(yīng)使注滿桶所需的時(shí)間少的人先注水．不妨設(shè)T1T2…T10，則所需時(shí)間為10T1+9T2+8T3+…+T10．⑵ 設(shè)T1T2…T10，則安排TTTTT9在一個(gè)龍頭，TTTTT10在另一個(gè)龍頭．且注水時(shí)間短的先注水．這樣，共需時(shí)間5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10)．6．設(shè)有一個(gè)邊長為1的正方形，試在這個(gè)正方形的內(nèi)接正三角形中找出一個(gè)面積最大的和一個(gè)面積最小的，并求出這兩個(gè)面積．(須證明你的論斷)解：如圖，設(shè)△EFG是正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形．且E、F分別在一組對邊AD、BC上，取EF中點(diǎn)M，連MG．則∠GME=∠GAE=90176。，于是A、G、M、E四點(diǎn)共圓．∴ ∠MAG=∠MEG=60176。，同理，∠MBG=60176。，即△MAB為正三角形．于是M為定點(diǎn)，故1=AB≤EF≤ABsec15176。=－．∴ ≤S△EFG≤2－3．
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