20xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析蘇教版12-資料下載頁
2025-01-25 05:28本頁面
【正文】 ((cosβ+cosγ+cosd)，(sinβ+sinγ+sind))、((cosγ+cosd+cosα)，(sinα+sind+sinγ))、((cosd+cosα+cosβ)，(sind+sinα+sinβ))、((cosα+cosβ+cosγ)，(sinα+sinβ+sinγ))．從而，⊿A2A3A⊿A3A4A⊿A4A1A⊿A1A2A3的垂心依次是H1(cosβ+cosγ+cosd， sinβ+sinγ+sind)、H 2 (cosγ+cosd+cosα，sinα+sind+sinγ)、H 3 (cosd+cosα+cosβ，sind+sinα+sinβ)、H 4 (cosα+cosβ+cosγ，sinα+sinβ+sinγ)．而HHHH4點與點O1(cosα+cosβ+cosγ+cosd，sinα+sinβ+sinγ+sind)的距離都等于1，即HHHH4四點在以O1為圓心，1為半徑的圓上．證畢．二、(35分)設集合Sn={1,2,L,n}．若X是Sn的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為的奇(偶)子集． 1．求證Sn的奇子集與偶子集個數(shù)相等． 2．求證：當n≥3時，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．當n≥3時，求Sn的所有奇子集的容量之和．證明：⑴ 對于Sn的每個奇子集A，當1∈A時，取B=A\{1}，當1207。A時，取B=A∪{1}，若B為Sn的偶子集，當1∈B時，取A=B\{1}，當1207。B時，取A=B∪{1}，于是在Sn的奇子集與偶子集之間建立了一個一一對應，故Sn的奇子集與偶子集的個數(shù)相等.⑵ 對于任一i∈Sn，i1，含i的Sn的子集共有2n1個，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，從而每個數(shù)i，在奇子集的和與偶子集的和中，i所占的個數(shù)是一樣的.而對于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配對(即在上證中把1換成3來證)，于是也可知1Sn的所有奇子集的容量的和，與所有偶子集的容量的和相等.⑶ 由于每個元素在奇子集中都出現(xiàn)2n2次，故奇子集的容量和=(1+2+3+…+n)2n2=n(n+1)2n3．三、(35分) 在平面直角坐標系中，任取6個格點Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)滿足：⑴ |xi|≤2，|yi|≤2(i=1，2，3，4，5，6)；⑵ 任何三點不在一條直線上．試證明：在以Pi(i=1，2，3，4，5，6)為頂點的所有三角形中，必有一個三角形的面積不大于2．證明 如圖，滿足條件的格點只能是圖中A、B、…、Y這25個格點中的6個．把這25個格點分成三個矩形：矩形AEFJ、KOWU、MNYX．若所取的6個點中有三個點在上述三個矩形中的某一個中，則此三點即滿足要求．若三個矩形中均無所取6點中的3點，則必是每個矩形中有所取的2個點．⑴ 若E、F、D、G、O、R、W中有所取的點，則此點與矩形MNYX中的兩點滿足要求；⑵ 若上述7點均未取，則A、B、C、H、I、J中必有兩點，此時若L、K中有所取的點，則亦有三點滿足要求；⑶ 若L、K亦未取，則必在P、Q、V、U中取了2點，矩形ACHJ中取了2點：此時取P、Q兩點，或Q、V兩點，或V、U兩點，或U、P兩點，或Q、U兩點，則無論ACHJ中取任一點，與之組成三角形面積均滿足要求．若取P、V兩點，則矩形ACHJ中必有一點異于C，取此點與P、V滿足要求．綜上可知，必有滿足要求的3點存在．
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