20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版6-資料下載頁(yè)
2025-01-25 05:28本頁(yè)面
【正文】 n1+Cx(1x)n2+…+Cxn2(1x)+Cxn－1] =a0+ndx(1－x+x)n－1=a0+ndx=a0+(an－a0)x．此為一次多項(xiàng)式．證畢．2．(本題滿分17分)已知銳角三角形ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，求證：AD，BE，CF是⊿ABC的三條高的充要條件是S=(EF+FD+DE)．式中S是三角形ABC的面積． 證明 連OA，則由C、E、F、B四點(diǎn)共圓，得208。AFE=208。C，又在⊿OAB中，208。OAF=(180176。2208。C)/2=90176。208。C，∴OA⊥EF．∴ SOEAF=EF=EF，同理，SOFBD=DF，SODCE=DE，故得S=(EF+FD+DE)．反之，由S=(EF+FD+DE）．得OA⊥EF，OB⊥FD，OC⊥ED，否則S(EF+FD+DE）．過A作⊙O的切線AT，則∠AFE=∠TAF=∠ACB，222。B、F、E、D共圓，同理，A、F、D、C共圓，A、E、D、B共圓．222?！螦FC=∠ADC，∠AEB=∠ADB．∴ ∠AFC+∠AEB=∠ADC+∠ADB=180176。．但∠BFC=∠BEC，即∠AFC=∠AEB=90176。，于是F、E為垂足，同理D為垂足．故證．3．(本題16分)平面直角坐標(biāo)系中，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種染色方法將所有的整點(diǎn)都染色，每一個(gè)整點(diǎn)染成白色、紅色或黑色中的一種顏色，使得⑴ 每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無(wú)窮多條平行于橫軸的直線上；⑵ 對(duì)任意白色A、紅點(diǎn)B和黑點(diǎn)C，總可以找到一個(gè)紅點(diǎn)D，使得ABCD為一平行四邊形．證明你設(shè)計(jì)的方法符合上述要求．證明：設(shè)任一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，把x+y≡1(mod 4)的點(diǎn)染白，x+y≡3(mod 4)的點(diǎn)染黑，x+y≡0或2(mod4)的點(diǎn)染紅． 顯然，這樣染色的點(diǎn)滿足要求．首先，每條平行于x軸的直線上都有三種顏色的點(diǎn)．即每一種顏色的點(diǎn)出現(xiàn)在無(wú)窮多條平行于橫軸的直線上；其次，對(duì)于任一白點(diǎn)A(x1，y1)，任一紅點(diǎn)B(x2，y2)，與任一黑點(diǎn)C(x3，y3)，當(dāng)點(diǎn)D(x4，y4)與之組成平行四邊形時(shí)，有x1+x3=x2+x4，y1+y3=y2+y4．而x1+y1+x3+y3≡0(mod 4)，于是x2+y2+x4+y4≡0(mod 4)，故x4+y3≡0(當(dāng)x2+y2≡0時(shí))或2(當(dāng)x2+y2≡2時(shí))(mod 4)．即點(diǎn)D為紅點(diǎn)．
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