20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版10-資料下載頁
2025-01-25 05:28本頁面
【正文】 8。2=208。3，208。EPD=208。BPF，∴ 208。PFB=208。EDP=90176。．∴ PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四邊形．∴ O1O3與PO互相平分，即O1O3過PO的中點．同理，O2O4過PO中點．∴ OP、O1OO2O4三直線共點．二．(本題滿分35分)設(shè) E={1，2，3，……，200}， G={a1，a2，……，a100}E．且G具有下列兩條性質(zhì)：⑴ 對任何1≤ij≤100，恒有 ai+aj≠201；⑵ ai=10080．試證明：G中的奇數(shù)的個數(shù)是4的倍數(shù)．且G中所有數(shù)字的平方和為一個定數(shù)．證明：⑴取100個集合：{ai，bi}：ai=i，bi=201－i(i=1，2，…，100)，于是每個集合中至多能取出1個數(shù)．于是至多可以選出00個數(shù)．現(xiàn)要求選出100個數(shù)，故每個集合恰選出1個數(shù)．把這100個集合分成兩類：① {4k+1，200－4k}；② {4k－1，202－4k}．每類都有50個集合．設(shè)第①類選出m個奇數(shù)，50－m個偶數(shù)，第②類中選出n個奇數(shù)，50－n個偶數(shù)．于是1?m+0?(50－m)+(－1)?n+2?(50－n)≡10080≡0(mod 4)．即m－3n≡0(mod 4)，即m+n≡0(mod 4)∴ G中的奇數(shù)的個數(shù)是4的倍數(shù)．⑵ 設(shè)選出的100個數(shù)為x1，x2，…，x100，于是未選出的100個數(shù)為201－x1，201－x2，…，201－x100．故x1+x2+…+x100=10080．∴ x12+x22+…+x1002+(201－x1)2+(201－x2)2+…+(201－x100)2=2(x12+x22+…+x1002)－2201(x1+x2+…+x100)+1002012=2(x12+x22+…+x1002)－220110080+1002012=12+22+32+…+2002．∴ x12+x22+…+x1002=[(12+22+32+…+2002)+220110080－1002012]=[200201401+20120160－20100201]=[10067401+20160]=1349380．為定值．三．(本題滿分35分)某市有n所中學(xué)，第i所中學(xué)派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)來到體育館觀看球賽，全部學(xué)生總數(shù)為Ci=1990．看臺上每一橫排有199個座位，要求同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排，問體育館最少要安排多少橫排才能夠保證全部學(xué)生都能坐下．解：首先，199395，故每排至少可坐5所學(xué)校的學(xué)生．1990=19910，故如果沒有“同一學(xué)校的學(xué)生必須坐在同一橫排”的限制，則全部學(xué)生只要坐在10排就夠了．現(xiàn)讓這些學(xué)生先按學(xué)校順序入坐，從第一排坐起，一個學(xué)校的學(xué)生全部坐好后，另一個學(xué)校的學(xué)生接下去坐，如果在某一行不夠坐，則余下的學(xué)生坐到下一行．這樣一個空位都不留，則坐10排，這些學(xué)生就全部坐完．這時，有些學(xué)校的學(xué)生可能分坐在兩行，讓這些學(xué)校的學(xué)生全部從原坐處起來，坐到第112排去．由于，這種情況只可能在第一行末尾與第二行開頭、第二行末尾與第三行開頭、……第九行末尾與第十行開頭這9處發(fā)生，故需要調(diào)整的學(xué)校不超過10所，于是第112行至多各坐5所學(xué)校的學(xué)生，就可全部坐完．這說明12行保證夠坐．其次證明，11行不能保證就此學(xué)生按條件全部入坐：199=633+1．1990=3458+18．取59所學(xué)校，其中58所學(xué)校34人，1所學(xué)校18人．則對前58所學(xué)校的學(xué)生，每排只能坐5所學(xué)校而不能坐6所學(xué)校．故11排只能坐其中55所學(xué)校的學(xué)生．即11排不夠坐．綜上可知，最少要安排12橫排才能保證全部學(xué)生都能坐下．
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