20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版23(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ．解：F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)；|F1F2|=2． |PF1|+|PF2|=6，222。|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(2)2．故DPF1F2是直角三角形．∴ S=4．9．已知A={x|x2－4x+30，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若A205。B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．解：A=(1，3)；又，a≤－21－x∈(－1，－)，當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，a≥ －7∈(－7，－4)．∴ －4≤a≤－1．10．已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=，logcd=，若a－c=9，則b－d= ．解：a3=b2，c5=d4，設(shè)a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．(x+y2)(x－y2)=9．∴ x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93．11．將八個(gè)半徑都為1的球分放兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球都和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 ．解：如圖，ABCD是下層四個(gè)球的球心，EFGH是上層的四個(gè)球心．每個(gè)球心與其相切的球的球心距離=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一個(gè)正方形．是把正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)45176。而得．設(shè)E的射影為N，則MN=－1．EM=，故EN2=3－(－1)2=2．∴ EN=．所求圓柱的高=2+．12． 設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則= ．解：由于a1，a2，…，an－1中的每一個(gè)都可以取0與1兩個(gè)數(shù)，Tn=2n－1．在每一位(從第一位到第n－1位)小數(shù)上，數(shù)字0與1各出現(xiàn)2n－2次．第n位則1出現(xiàn)2n－1次．∴ Sn=2n－2180。…1+2n－2180。10－n．∴ =180。=．三、（本題滿分20分）13．設(shè)≤x≤5，證明不等式 2++2． 解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．222?！躼≤5．由平均不等式≤≤．∴ 2++=+++≤2． 但2在≤x≤5時(shí)單調(diào)增．即2≤2=2． 故證．四、(本題滿分20分)14．設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實(shí)數(shù))對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn)．證明：曲線 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)與△ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)．解：曲線方程為：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2 即 y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a (0≤x≤1)． ① 若a－2b+c=0，則Z0、ZZ2三點(diǎn)共線，與已知矛盾，故a－2b+c185。0．于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線．AB中點(diǎn)M：+(a+b)i，BC中點(diǎn)N：+(b+c)i．與AC平行的中位線經(jīng)過M(，(a+b))及N(，(b+c))兩點(diǎn)，其方程為4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤)
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