20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版52(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5．于是有S162。－S＝x1162。x2162。－x1x2＞0．這與S在x1，x2，x3，x4，x5時取到最大值矛盾．所以必有≤1，(1≤i，j≤5)．因此當(dāng)x1＝402，x2＝x3＝x4＝x5＝401時S取到最大值． ……………………(10分)⑵ 當(dāng)x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006，且≤2時，只有（I） 402， 402， 402， 400， 400；（II） 402， 402， 401， 401， 400；（III） 402， 401， 401， 401， 401； 三種情形滿足要求． ……………………(15分)而后兩種情形是由第一組作xi162。＝xi－1，xj162。＝xj＋1調(diào)整下得到的．根據(jù)上一小題的證明可知道，每次調(diào)整都使和式S＝xixj變大．所以在x1＝x2＝x3＝402，x4＝x5＝400時S取到最小值．………(20分)15．設(shè) f(x)＝x2＋a. 記f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|對所有正整數(shù)n，≤2}．證明，M＝[－2，]．證明：⑴ 如果a＜－2，則＝|a|＞2，aM． ………………………(5分)⑵ 如果－2≤a≤，由題意，f1(0)＝a，fn(0)＝(fn－1(0))2＋a，n＝2，3，……．則① 當(dāng)0≤a≤時，≤，(n≥1). 事實上，當(dāng)n＝1時，＝|a|≤，設(shè)n＝k－1時成立(k≥2為某整數(shù)），則對n＝k， ≤＋a≤()2＋＝．② 當(dāng)－2≤a＜0時，≤|a|，(n≥1)．事實上，當(dāng)n＝1時，≤|a|，設(shè)n＝k－1時成立(k≥2為某整數(shù))，則對n＝k，有－|a|＝a≤＋a≤a2＋a注意到當(dāng)－2≤a＜0時，總有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．從而有≤|a|．由歸納法，推出[－2，]205。M．……………………(15分)⑶ 當(dāng)a＞時，記an＝fn(0)，則對于任意n≥1，an＞a＞且an＋1＝fn＋1(0)＝f(fn(0))＝f(an)＝a＋a．對于任意n≥1，an＋1－an＝a－an＋a＝(an－)2＋a－≥a－．則an＋1－an≥a－．所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a－)．當(dāng)n＞時，an＋1＞n(a－)＋a＞2－a＋a＝2，即fn＋1(0)＞2．因此aM．綜合⑴，⑵，⑶，我們有M＝[－2，]． …………………………(20分) 2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說 明：1. 評閱試卷時，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，10分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次．一、（本題滿分50分）以B0和B1為焦點的橢圓與△AB0B1的邊ABi交于點Ci(i＝0，1). 在AB0的延長線上任取點P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧交C1B0的延長線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧交B1A的延長線于點P1；以B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧交B1C0的延長線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧，交AB0的延長線于P0162。. 試證：⑴ 點P0162。與點P0重合，且圓弧與相內(nèi)切于點P0；⑵ 四點P0，Q0，Q1，P1共圓．關(guān)于⑴的證明要點：① 說明C0P0＝C0P0162。，從而得到P0與P0162。重合：由橢圓定義知B0C1＋B1C1＝B0C0＋B1C0＝2a(2a為橢圓的長軸)．記BiCj＝rij(i，j＝0，1)，即r01＋r11＝r00＋r10＝2a．設(shè)B0P0＝B0Q0＝b，則C1Q0＝C1P1＝C1B0＋B0Q0＝r01＋b；B1P1＝B1Q1＝B1C1＋C1P1＝r11＋r01＋b；C0Q1＝C0P0162。＝B1Q1－B1C0＝r11＋r01＋b－r10＝b＋2a－r10＝b＋r00． 但C0P0＝b＋r00；從而C0P0162。＝C0P0，故點P0與P0162。重合．(10分) ② 說明兩圓的公共點在兩圓連心線所在直線上，或說明兩圓圓心距等于兩圓半徑差，從而兩圓相切． 由于弧的圓心為B0，的圓心為C0，而P0為兩圓公共點，但C0、B0、P0三點共線，故兩圓弧內(nèi)切于點P0． 或：由于C0B0＝C0Q1－B0P0，即兩圓圓心距等于兩圓半徑差，從而兩圓內(nèi)切．(20分)⑵的證明要點：主要有以下兩
范文總結(jié)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1