高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座---競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-02-11 10:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 里由知乘積不是最大的值。對(duì)于某些正整數(shù)取2的情況，注意到2+2=4，22=4；2+2+2=6=3+3，22233。我們發(fā)現(xiàn)諸ai中不能取多于兩個(gè)2。對(duì)于ai=5，有2+3=5，235。因此不如把一個(gè)5拆成2與3的和，從而使乘積變大，對(duì)于6，7等有類(lèi)似的結(jié)論。這樣，我們已大致可確定諸ai只應(yīng)取2或3，且2的個(gè)數(shù)不超過(guò)兩個(gè)。依此估計(jì)，由1978=6583+2+2，即可猜測(cè)最大的積為。例9. （IMO—31備選題）設(shè)a，b是給定的正整數(shù)，現(xiàn)有一機(jī)器人沿著一個(gè)有n級(jí)的樓梯上下升降，每上升一次恰好上升a級(jí)，每下降一次恰好下降b級(jí)。為使機(jī)器人經(jīng)過(guò)若干次上升下降后，可以從地面升到樓梯頂，然后再返回地面，問(wèn)n的最小值是多少？ 解：為了探討解法和結(jié)論，不妨設(shè)。我們分b|a與a?b兩種情況進(jìn)行討論。對(duì)于b|a的情況結(jié)論是顯而易見(jiàn)的：可令a=sb, 機(jī)器人上升一次，然后再連續(xù)下降s次即達(dá)到要求，故n=?b。例如，特例a=5，b=3。這時(shí)機(jī)器人先上升一次達(dá)到第五級(jí)，為使n最小，機(jī)器人就不應(yīng)再上升，而是盡量下降。下降1次至第2級(jí)。此時(shí)，再上升一次到第2+5=7級(jí)，然后再一降兩次到第1級(jí)，又上升至1+5=6級(jí)，再下降二次至0級(jí)，從而機(jī)器人已完成了上升下降的全過(guò)程，故n=7。又取特例a=7，b=4。依上述方法可得n=10。通過(guò)特例，我們可作如下猜測(cè)：若a?b，且（a，b）=1，則n=a+b1。實(shí)際上，依照上述試驗(yàn)的思路，這一猜想是可以被證明的。數(shù)論中還有很多命題是通過(guò)選取某一特殊的數(shù)作為模來(lái)討論和解決的。這種數(shù)往往是根據(jù)命題的一些因素（如項(xiàng)的系數(shù)、字母的指數(shù)、式的形狀等），通過(guò)試用來(lái)選擇和確定的，最簡(jiǎn)單的是mod2，即奇偶分析法。其次是模3，4，5，8等。三. 討論極端情況由于整數(shù)集具有最大（?。┱麛?shù)原理這一特性，我們往往可以從某種條件下有最大（?。┰爻霭l(fā)進(jìn)行討論。例如，可考慮：（1）數(shù)列中具有某種特點(diǎn)的極端項(xiàng)；（2）數(shù)的最小因數(shù)；（3）數(shù)的分解式中某素?cái)?shù)的最高次冪；（4）未知
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