高中數(shù)學(xué)競賽講義8平面向量(編輯修改稿)
2025-05-01 05:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例5 給定非零向量a, b. 求證：|a+b|=|ab|的充要條件是ab.【證明】|a+b|=|ab|(a+b)2=(ab)2a2+2ab+b2=a22ab+b2ab=0ab.例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為△ACD重心。求證：OECD?！咀C明】 設(shè)，則，又，所以a(bc). （因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因為AB=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a(bc)=0. 所以O(shè)ECD。4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算。例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B坐標(biāo)分別為（1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y），則=(x, y1), ，因為，所以x(y1)=0.又因為，所以x2+y2=2.由①，②解得所以設(shè)，則。由和共線得所以，即F，所以=4+，所以AF=AE。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．以下命題中正確的是__________. ①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(ab)c=(ac)b；③若ab=ac，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)在b=(3, 4)上的投影為4。2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：①；②；③ ；④與，相等的有__________.3．已知a=yx, b=2xy, |a|=|b|=1, ab=0，則|x|+|y|=__________.4．設(shè)s, t為非零實(shí)數(shù)，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|tasb|，則a和b的夾角為__________.5．已知a, b不共線，=a+kb, =la+b，則“kl1=0”是“M，N，P共線”的__________條件.6．在△ABC中，M是AC中點(diǎn)，N是AB的三等分點(diǎn)，且，BM與CN交于D，若，則λ=__________.7．已知不共線，點(diǎn)C分所成的比為2，則__________.8．已知=b, ab=|ab|=2，當(dāng)△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.9．把函數(shù)y=2x24x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1, 1), 若，cb=4，則b的坐標(biāo)為__________.10．將向量a=(2,
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