【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 二、 綜合應(yīng)用：例1：已知，若時(shí)，恒成立，求的取值范圍。例2．設(shè)滿(mǎn)足條件：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)， （3）在R上的最小值為0。①求的解析式；②求最大的使得存在，只要就有。設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a2－bc－8a＋7＝0 …………①b2＋c2＋bc－6a＋6＝0 …………②求a的取值范圍.分析：如何將含有三個(gè)變量的兩個(gè)方程組成的方程組問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為只含有a的不等式，是解決本題的關(guān)鍵，仔細(xì)分析觀察方程組的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)可以利用a來(lái)表示bc及b＋c，從而用韋達(dá)定理構(gòu)造出a為變量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式.解：由①得：bc＝a2－8a＋7 …………③ 由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1 即b＋c＝177。(a－1) …………④由③④得b，c為方程x2177。(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于b，c∈R，所以△≥0即：[177。(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0即：a2－10a＋9≤0得：1≤a≤9例3。已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中滿(mǎn)足，．（1）求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)A、B；（2）求線段在軸上的射影的范圍。命題意圖：本題主要考查考生對(duì)函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題及數(shù)與形的完美結(jié)合.錯(cuò)解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問(wèn)題的突破口，而忽略了“數(shù)”.技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0 ∴c20,∴Δ0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).(2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=.|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵abc,a+b+c=0,a0,c0∴a－a－cc,解得∈(－2,－)∵的對(duì)稱(chēng)軸方程是.∈(－2,－)時(shí)，為減函數(shù) ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().例4．已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx (a,b是常數(shù)，且a≠0)滿(mǎn)足條件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。①求f(x)的解析式；②是否存在實(shí)數(shù)m，n (mn)，使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n]？如果存在，求出m,n的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：①∵方程f(x)=2x有等根222。⊿＝0222。b=2∵f(x－1)=f(3－x)222。f(x)=f(2x)222。圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x==1222。a=1∴f(x)=x2+2x②f(x)=(x1)2+1≤1∴4n≤1222。n≤∵拋物線y=x2+2x的對(duì)稱(chēng)軸為x=1∴n≤時(shí)，f(x)在[m,n]上為增函數(shù)若滿(mǎn)足題設(shè)條件的m,n存在，則222?！適n≤∴m=2,n=0，這時(shí)定義域?yàn)閇2,0]，值域?yàn)閇8,0]∴存在m=2,n=0，滿(mǎn)足條件。例5．對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在實(shí)數(shù)x0，滿(mǎn)足f(x0)=x0，則稱(chēng)x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。已知F1(x)=f(x), F2(x)=f[F1(x)], F3(x)=f[F2(x)], …, Fn(x)=f[Fn1(x)] (n∈N*,n≥2)。①若f(x)存在不動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)F2(x), F3(x), …,Fn(x)是否存在不動(dòng)點(diǎn)？寫(xiě)出你的結(jié)論，并加以證明。②設(shè)f(x)=2xx2。求使所有Fn(x)0　（n∈N*,n≥2）成立的所有正實(shí)數(shù)x值的集合。①y=f(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0，則f(x0)=x0，下證x0是Fn(x)的不動(dòng)點(diǎn)?！逨2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0 ∴x0也是F2(x)的不動(dòng)點(diǎn)。若Fn1(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0，即Fn1(x0)=x0 ∴Fn(x0)=f[Fn1(x0)]=f(x0)=x0222。 Fn(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0綜上所述：對(duì)于任意n∈N*,n≥2，F(xiàn)n(x)都存在不動(dòng)點(diǎn)，并且有相同的不動(dòng)點(diǎn)。②方法一：∵f(x)0222。2x－x20222。x0或x2∵要使Fn(x)0 (n≥2)222。f[Fn1(x)]0222。2Fn1(x)－[Fn1(x)]20222。Fn1(x)0或Fn1(x)2依此類(lèi)推，要使F2(x)0222。f[F1(x)]0222。f[f(x)]0222。2f(x)－[f(x)]20222。f(x)0或f(x)2222。2x－x20或2x－x22222。x0(舍去)或x2或x∈f222。x2∴所求x的取值范圍為(2,+∞)。例6：求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，恒有。設(shè)，原不等式化為：恒成立記，則 ， ， 例7：已知函數(shù)，方程的兩根是，又若，試比較的大小。解法一：設(shè)F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＝a(x－x1)(x－x2)∴ f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1 ＝(t－x1)[a(t－x2)＋1] ＝a(t－x1)(t－x2＋)又t－x2＋＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0∴ f(t)－x1＞0∴ f(t)＞x1解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x令g(x)＝a(x－x2)∵ a＞0，g(x)是增函數(shù)，且t＜x1 222。 g(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t∴ ＝a(t－x2)＝g(t)＜－1∴ f(t)－t＞x1－t∴ f(t)＞x1例8．已知函數(shù)，方程的兩個(gè)根為，且（1） 求證：也是方程的根；（2） 設(shè)的另兩個(gè)根是，且，試判斷的大小。解：（1）易證。（2）由方程的兩個(gè)根為，設(shè)所以記，則是的兩根，而，且，故。例9．設(shè),方程的兩個(gè)根，若，設(shè)的對(duì)稱(chēng)軸為，求證構(gòu)造可以推出結(jié)論。．設(shè),當(dāng)時(shí)，求證：適合的最小實(shí)數(shù)A的值為8。，所以A的最小值為8例10．設(shè),方程的兩個(gè)根滿(mǎn)足，（1）當(dāng)時(shí)，證明；（2）設(shè)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，證明該題是一九九七年全國(guó)普通高考理工類(lèi)數(shù)學(xué)第24題，它綜合考查二次函數(shù)、二次方程和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析、解決問(wèn)題的能力，當(dāng)年沒(méi)有幾個(gè)考生能完整解答此題。可以從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度展開(kāi)思考： 　　從代數(shù)角度看，f(x)是二次函數(shù)，從而方程f(x)x=0即ax2+(b1)x+c=0 (a＞0)是二次方程，由于x1,x2是它的兩個(gè)根，且方程中x2的系數(shù)是a，因此有表達(dá)式：f(x)x=a(xx1)(xx2) ,進(jìn)而，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和題設(shè)條件，可得第（1）問(wèn)的證明。 　　從幾何角度看，拋物線y=f(x)x開(kāi)口向上，因此在區(qū)間［x1,x2］的外部，f(x)x＞0，（1）的左端得證。其次，拋物線y=f(x)的開(kāi)口也向上，又x1=f(x1)，于是為了證得（1）的右端，相當(dāng)于要求證明函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,x1］的最大值是f(x1)，這相當(dāng)于證明f(0)≤f(x1)，也即C≤x1，利用韋達(dá)定理和題設(shè)，立即可得。 　　至于（Ⅱ）的證明，應(yīng)用配方法可得x0=，進(jìn)而利用韋達(dá)定理與題設(shè)，即得證明。 　　證明：①欲證：x＜f(x)＜x1 　　 只須證：0＜f(x)x＜x1x 　?、?∵方程f(x)x=0的兩根為x1,x2, ∴f(x)x=a(xx1)(xx2) 　　 ①式即: 0＜a(xx1)(xx2)＜x1x ?、?　　 ∵a＞0，x∈(0,x1)，x1x＞0，∴ a(x1x)＞0 　?、谑絻蛇呁詀(x1x)＞0，得：0＜x2x＜，即：x＜x2＜+x 　　這由已知條件：0＜x＜x1＜x2＜，即得：x＜x2＜＜+x， 　　故命題得證。 　?。?）欲證x0＜，因?yàn)閤0=，故只須證：x0=＜0　?、?　　由韋達(dá)定理，x1+x2=，=，代入①式，有 =＜0 　　即：x2＜ 　　由已知：0＜x1＜x2＜，命題得證。 三、練習(xí)1．二次函數(shù),若,則等于:A. B. D.2．已知二次函數(shù)，設(shè)方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．①如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，求證：；②如果，且的兩實(shí)根的差為2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）即為：它的兩根滿(mǎn)足的充要條件是：又，所以：因?yàn)椋海裕?，即：?） 由題意得： 即：消去得：，此不等式等價(jià)于：解得：3．已知函數(shù)f(x)=6x－6x2，設(shè)函數(shù)g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], …, gn(x)=f[gn1(x)], …。①求證：如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，滿(mǎn)足g1(x0)=x0，那么對(duì)一切n∈N*, gn(x0)=x0都成立；②若實(shí)數(shù)x0，滿(mǎn)足gn(x0)=x0，則稱(chēng)x0為穩(wěn)定動(dòng)點(diǎn)，試求所有這些穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)。③設(shè)區(qū)間A=(∞,0)，對(duì)于任意x∈A，有g(shù)1(x)=f(x)=a0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)0，且n≥2時(shí)，gn(x)0。試問(wèn)是否存在區(qū)間B (A∩B≠f)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，只要n≥2，都有g(shù)n(x)0？解:①數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=1時(shí)，g1(x0)=x0顯然成立；當(dāng)n=k時(shí)，在gk(x0)=x0 (k∈N*)成立，則gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立?！鄬?duì)一切n∈N*，若g1(x0)=x0，則gn(x0)=x0。②由①知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)x0只需滿(mǎn)足f(x0)=x0，∵f(x0)=x0222。6x0－6x02=x0222。x0=0或x0=。③∵f(x)0222。6x－2x20222。x0或x1∴gn(x)0219。f[gn1(x)]0219。 gn1(x)0或gn1(x)1要使一切n∈N,n≥2，都有g(shù)n(x)0，必須有g(shù)1(x)0或g1(x)1∵g1(x)0219。6x－2x20222。x0或x1g1(x)1219。6x－2x21222。x∴對(duì)于區(qū)間(∞,0), (,)和(1,+∞)內(nèi)的任意x，只要n≥2,n∈N*，都有g(shù)n(x)0。 167。 函數(shù)迭代知識(shí)提要先看一個(gè)有趣的問(wèn)題：李政道博士1979年4月到中國(guó)科技大學(xué)，給少年班的同學(xué)面試這樣一道題：五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡覺(jué)，明天再說(shuō)．夜里一只猴子偷偷起來(lái)，把一個(gè)桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡覺(jué)了．第二只猴子起來(lái)后，像第一只猴子一樣，先吃掉一個(gè)，剩下的又剛好分成5份，也把自己的一份收藏起來(lái)睡覺(jué)去了．第三、第四、第五只猴子也都是這樣：先吃掉一個(gè)，剩下的剛好分成5份．問(wèn)這堆桃子最少是多少個(gè)？設(shè)桃子的總數(shù)為個(gè)．第只猴子吃掉一個(gè)并拿走一份后，剩下的桃子數(shù)目為個(gè)，則，且．設(shè)．于是由于剩下的桃子數(shù)都是整數(shù)，所以，．因此，最小的為：．上面的解法，我們利用了一個(gè)函數(shù)自身復(fù)合多次，這就叫迭代．一般地，設(shè)是一個(gè)函數(shù)，對(duì)，記，，…，，則稱(chēng)函數(shù)為的次迭代，并稱(chēng)為的迭代指數(shù)．反函數(shù)記為．一些簡(jiǎn)單函數(shù)的次迭代如下：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若（），則；的一般解法是先猜后證法：先迭代幾次，觀察規(guī)律并猜測(cè)表達(dá)式，證明時(shí)常用數(shù)學(xué)歸納法．例題講解1．求迭代后的函數(shù)值例1：已知是一次函數(shù)，且，求的解析式．例2：自然數(shù)的各位數(shù)字和的平方記為，且，則（）的值域?yàn)椋? ）（A） （B） （C） （D）（第14屆希望杯）例3：設(shè)，而，．記，則 ．（第14屆希望杯） 2．不動(dòng)點(diǎn)法一般地，若，則把它寫(xiě)成因而……這里的就是方程的根．一般地，方程的根稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．如果是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則也是的不動(dòng)點(diǎn)．可用數(shù)學(xué)歸納法證明．利用不動(dòng)點(diǎn)能較快地求得函數(shù)的次迭代式．例4：若，求．3．相似法若存在一個(gè)函數(shù)以及它的反函數(shù)，使得，我們稱(chēng)通過(guò)和相似，簡(jiǎn)稱(chēng)和相似，其中稱(chēng)為橋函數(shù)．如果和相似，即，則有：．例6：若，求．例7：若，求．課后練習(xí)1．若的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則（ ）（A） （B） （C） （D） （第5屆希望杯）2．在正整數(shù)集上定義的函數(shù)，則的值是（ ）（A） （B） （C） （D） （第2屆希望杯）3．已知是一次函數(shù)，且，則的解析式為 ．4．已知函數(shù)，且，則 ． （第6屆希望杯）5．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，則 ．6．設(shè)函數(shù)，是無(wú)理數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第位數(shù)字，并且規(guī)定．令，求證：． （第1屆希望杯）7．給定個(gè)數(shù)：，（）將這個(gè)數(shù)由大到小地排成一列，定義：第位上恰是的數(shù)（）叫做希望數(shù)，試求時(shí)的希望數(shù)． （第11屆希望杯）8．設(shè) ．記，（），．證明：. （2006年全國(guó)聯(lián)賽）167。 抽象函數(shù)知識(shí)提要1．所謂抽象函數(shù)泛指不具體的函數(shù)，然而抽象函數(shù)又多以具體函數(shù)為背景，所以研究抽象函數(shù)很有應(yīng)用價(jià)值．抽象函數(shù)也是高考、競(jìng)賽命題的熱點(diǎn)之一．2．抽象函數(shù)與它的代表函數(shù)抽象函數(shù)滿(mǎn)足條件