高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何專題1資料從調(diào)和點(diǎn)列到apollonius圓到極線(編輯修改稿)
2025-05-01 05:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 BC，H為AD上任一點(diǎn)，則∠ADF=∠ADE（1994年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）圖 8證明：對(duì)完全四邊形AFHEBC，由定理4知FLEK為調(diào)和點(diǎn)列。又AD⊥BC，由定理7得∠ADF=∠ADE。圖 9例3 如圖9，完全四邊形ABCDEF中，GJ⊥EF與J，則∠BJA=∠DJC（2002年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)選拔考試題）證明：由定理4及定理7有∠BJG=∠DJG且∠AJG=∠CJG，則∠BJA=∠DJC。圖 10例4 已知：如圖10，△ABC內(nèi)角平分線BE、CF交于I，過I做IQ⊥EF交BC于P，且IP=2IQ。求證：∠BAC=60176。證明：做AX⊥EF交BC于Y，由定理4知AD’ID為調(diào)和點(diǎn)列，故，又IP=2IQ，則AX=XY，即EF為AY中垂線，由正弦定理，則AFYC共圓，同理AEYB共圓，故∠BYF=∠BAC=∠CYE=∠EYF，故∠BAC=60176。圖 9例5 如圖11，P為圓O外一點(diǎn)，PA、PB為圓O的兩條切線。PCD為任意一條割線，CF平行PA且交AB于E。求證：CE=EF（2006國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題）證明：由定理10及定理3即得。例6 如圖12，PAB、PCD為圓O割線，AD交BC于E，AC交BD于F，則EF為P的極線。（1997年CMO試題等價(jià)表述）證法一：作AEB外接圓交PE于M，則PE*PM=PA*PB=PC*PD，故CDME共圓（其實(shí)P為三圓根心且M為PAECBD密克點(diǎn)），從而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD， BOMD共圓?！螼MT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90176。故M為ST中點(diǎn)，PS*PT= PA*PB=PE*PM，由定理2（3）知E在P極線上，同理F亦然，故EF為P的極線。圖 10圖 11證法二：如圖13，設(shè)PS、PT為圓O切線。在△ABT中，可以得到 由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三線共點(diǎn)于E，同理F亦然，故EF為P的極線。至此，點(diǎn)P在圓O外時(shí)，我們得到了P點(diǎn)極線的四種常見的等價(jià)定義：過P反演點(diǎn)做的OP的垂線。過P任意作割線PAB，AB上與PAB構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的點(diǎn)的軌跡所在的直線。P對(duì)圓O的切點(diǎn)弦。過P任意做兩條割線PAB、PCD，AD、BC交點(diǎn)與AC、BD交點(diǎn)的連線。(注：切線為割線特殊情形，故 4是統(tǒng)一的)例7 △ABC內(nèi)切圓I分別切BC、AB于D、F，AD、CF分別交I于G、H。求證：(2010年?yáng)|南數(shù)學(xué)奧林匹克)圖 12證明：如圖14，由定理13知GFDE為調(diào)和四邊形，據(jù)托勒密定
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